本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
ロピタルの定理
$f(x)$と$g(x)$は実数$x=a$の近くで定義され，微分可能であるとする。このとき，
\begin{alignat}{2}
\lim_{x\rightarrow a}f(x) &= 0, \quad &&\lim_{x\rightarrow a}g(x) = 0
\end{alignat}
\lim_{x\rightarrow a}f(x) &= 0, \quad &&\lim_{x\rightarrow a}g(x) = 0
\end{alignat}
かつ
\begin{align}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}
\end{align}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}
\end{align}
が$[-\infty, \infty]$で存在する（振動しない）ならば，
\begin{align}
\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} &= \lim_{x\rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}
\end{align}
\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} &= \lim_{x\rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}
\end{align}
となる。
分数関数の極限を求める際に非常に便利な定理です。一方で，用法・容量には注意して用いなくてはならない定理の一つでもあります。
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