【徹底解説】ロピタルの定理

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

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ロピタルの定理

$f(x)$と$g(x)$は実数$x=a$の近くで定義され,微分可能であるとする。このとき,

\begin{alignat}{2}
\lim_{x\rightarrow a}f(x) &= 0, \quad &&\lim_{x\rightarrow a}g(x) = 0
\end{alignat}

かつ

\begin{align}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}
\end{align}

が$[-\infty, \infty]$で存在する(振動しない)ならば,

\begin{align}
\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} &= \lim_{x\rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}
\end{align}

となる。

分数関数の極限を求める際に非常に便利な定理です。一方で,用法・容量には注意して用いなくてはならない定理の一つでもあります。

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