本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
スカラーのベクトルによる微分の定義
縦ベクトル$\vy=(y_{1},\ldots,y_{m})^{T}$の縦ベクトル$\vx=(x_{1},\ldots,x_{n})^{T}$による微分は，以下のように定義される。
\begin{align}
\frac{\partial \vy}{\partial \vx} &=
\begin{bmatrix}
\partial y_{1}/\partial x_{1} & \ldots & \partial y_{1}/\partial x_{n} \\[0.7em]
\partial y_{2}/\partial x_{1} & \ldots & \partial y_{2}/\partial x_{n} \\[0.7em]
\vdots & \ddots & \vdots \\[0.7em]
\partial y_{m}/\partial x_{1} & \ldots & \partial y_{m}/\partial x_{n}
\end{bmatrix}
\end{align}
\frac{\partial \vy}{\partial \vx} &=
\begin{bmatrix}
\partial y_{1}/\partial x_{1} & \ldots & \partial y_{1}/\partial x_{n} \\[0.7em]
\partial y_{2}/\partial x_{1} & \ldots & \partial y_{2}/\partial x_{n} \\[0.7em]
\vdots & \ddots & \vdots \\[0.7em]
\partial y_{m}/\partial x_{1} & \ldots & \partial y_{m}/\partial x_{n}
\end{bmatrix}
\end{align}
ベクトルで微分するという操作は各要素の微分をベクトルの形式で表しているだけということです。
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