【徹底解説】順序の公理

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

順序の公理

ある集合$K$が順序の公理をみたすとは,$K$の任意の元$a,b,c$に対し,関係$a\leq b$がつぎをみたすことをいう。

  1. 反射律:$a\leq a$
  2. 反対称律:$a\leq b,b\leq a$ならば$a=b$
  3. 推移律:$a\leq b,b\leq c$ならば$a\leq c$
  4. 全順序性:$a\leq b$または$b\leq a$の少なくとも一方が成り立つ
  5. $a\leq b$ならば$a+c\leq b+c$
  6. $a\geq 0,b\geq 0$ならば$ab\geq 0$

多くの解析学の入門書では,これらを実数全体の集合$\mR$の性質として認める立場をとります。

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コメント

コメント一覧 (4件)

  • 「半対称律」は「反対称律」ではないでしょうか?
    2.に関して、逆に、a=bならばa≦bかつb≦aと言えるのでしょうか?

    • いえやす 様

      ご指摘誠にありがとうございます。

      >「半対称律」は「反対称律」ではないでしょうか?
      仰る通りです。本文を修正致しましたmm

      >a=bならばa≦bかつb≦aと言えるのでしょうか?
      真だと思います。なぜなら,順序の公理を満たす関係$\leq$に対し,$a=b$ならば$a\leq a=b$であり,かつ$a=b$ならば$b\leq b=a$であるからです。私の理解が間違えていましたら,ご指摘いただけますと幸いです。

    • Dee様

      ご指摘誠にありがとうございます。仰る通りtypoでしたので、本文を修正しました。

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