【徹底解説】順序の公理

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

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順序の公理

ある集合$K$が順序の公理をみたすとは,$K$の任意の元$a,b,c$に対し,関係$a\leq b$がつぎをみたすことをいう。

  1. 反射律:$a\leq a$
  2. 半対称律:$a\leq b,b\leq a$ならば$a=b$
  3. 推移律:$a\leq b,b\leq c$ならば$a\leq c$
  4. 全順序性:$a\leq b$または$b\leq a$の少なくとも一方が成り立つ
  5. $a\leq b$ならば$a+c\leq b+c$
  6. $a\leq 0,b\leq 0$ならば$ab\leq 0$

多くの解析学の入門書では,これらを実数全体の集合$\mR$の性質として認める立場をとります。

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