本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
簡単な形の累乗で表される部分分数分解
既知の部分分数分解を恒等式として両辺を累乗すれば，分解対象の式の次数を下げられる。
ヘビサイドの展開定理を用いて愚直に部分分数分解するよりも楽になります。
例題
$\displaystyle\frac{1}{n^{2}(n+1)^{2}}$の部分分数分解を求めよ
与式が綺麗に累乗の形になっていることに着目し，
\begin{align}
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}
\end{align}
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}
\end{align}
の両辺を累乗すると，
\begin{align}
\frac{1}{n^{2}(n+1)^{2}}
= \frac{1}{n^{2}}-\frac{2}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}
= \frac{1}{n^{2}}-\frac{2}{n}+\frac{2}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^{2}}
\end{align}
\frac{1}{n^{2}(n+1)^{2}}
= \frac{1}{n^{2}}-\frac{2}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}
= \frac{1}{n^{2}}-\frac{2}{n}+\frac{2}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^{2}}
\end{align}
が得られます。
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