統計検定1級の過去問解答解説を行います。目次は以下をご覧ください。
不適切な内容があれば，記事下のコメント欄またはお問い合わせフォームよりご連絡下さい。
目次
問題
統計検定1級の過去問からの出題になります。統計検定の問題の著作権は日本統計学会に帰属していますので，本稿にて記載することはできません。「演習問題を俯瞰する」で詳しく紹介している公式の過去問題集をご購入いただきますようお願い致します。
解答
順序統計量と条件付き確率に関する出題でした。
(1)
一様分布の定義より，一様分布に従う確率変数$S$とその実現値$s$に対し，
\begin{align}
P(S<s) &= s
\end{align}
P(S<s) &= s
\end{align}
が成り立つ。このことを利用すると，与えられた$X,Y$の定義より，
\begin{align}
P(X>Y|U=u)
&= P(U^{2}>V^{3}|U=u)
= P(V<U^{2/3}|U=u)
= P(V<u^{2/3}) = u^{2/3}
\end{align}
P(X>Y|U=u)
&= P(U^{2}>V^{3}|U=u)
= P(V<U^{2/3}|U=u)
= P(V<u^{2/3}) = u^{2/3}
\end{align}
が得られる。ここで，周辺確率と同様の考えで，条件付けた変数に関する期待値を取ることで，
\begin{align}
E_{U}[P(X>Y|U)]&= P(X>Y)
\end{align}
E_{U}[P(X>Y|U)]&= P(X>Y)
\end{align}
となるため，
\begin{align}
E_{U}[P(X>Y|U)]
&= E_{U}[U^{2/3}]
= \int_{0}^{1}1\cdot u^{2/3}du
= \frac{3}{5}\left[u^{5/3}\right]_{0}^{1}
= \frac{3}{5}
= P(X>Y)
\end{align}
E_{U}[P(X>Y|U)]
&= E_{U}[U^{2/3}]
= \int_{0}^{1}1\cdot u^{2/3}du
= \frac{3}{5}\left[u^{5/3}\right]_{0}^{1}
= \frac{3}{5}
= P(X>Y)
\end{align}
が得られる。
「$U=u$で条件つけられているから$V$に関して整理する」という思考が大切です。
(2)
小問(1)を拡張する。$X$が$X,Y,Z$の中で最大になるという条件は$X>Y$かつ$X>Z$と等価である。これらの確率を求めるためには，$U$を条件付けた確率の$U$に関する期待値をとればよい。まず，$U$を条件付けた確率を求めると，
\begin{align}
P(X=\max(X,Y,Z)|U=u)
&= P((X>Y)\cap(X>Z)|U=u)\\[0.7em]
&= P((U^{\alpha}>V^{\beta})\cap(U^{\alpha}>W^{\gamma})|U=u)\\[0.7em]
&= P((V<u^{\alpha/\beta})\cap(W<u^{\alpha/\gamma}))\\[0.7em]
&= P(V<u^{\alpha/\beta})\cdot P(W<u^{\alpha/\gamma})
= u^{\alpha(1/\beta+1/\gamma)}
\end{align}
P(X=\max(X,Y,Z)|U=u)
&= P((X>Y)\cap(X>Z)|U=u)\\[0.7em]
&= P((U^{\alpha}>V^{\beta})\cap(U^{\alpha}>W^{\gamma})|U=u)\\[0.7em]
&= P((V<u^{\alpha/\beta})\cap(W<u^{\alpha/\gamma}))\\[0.7em]
&= P(V<u^{\alpha/\beta})\cdot P(W<u^{\alpha/\gamma})
= u^{\alpha(1/\beta+1/\gamma)}
\end{align}
となる。ただし，$V$と$W$は互いに独立であることを利用した。よって，小問(1)と同様に$U$に関する期待値をとると，
\begin{align}
E_{U}\left[P(X=\max(X,Y,Z)|U=u)\right]
&= \int_{0}^{1}u^{\alpha(1/\beta+1/\gamma)}du\\[0.7em]
&= \frac{1}{\alpha(1/\beta+1/\gamma)+1}\left[u^{\alpha(1/\beta+1/\gamma)}\right]_{0}^{1}\\[0.7em]
&= \frac{1/\alpha}{1/\alpha+1/\beta+1/\gamma}
\end{align}
E_{U}\left[P(X=\max(X,Y,Z)|U=u)\right]
&= \int_{0}^{1}u^{\alpha(1/\beta+1/\gamma)}du\\[0.7em]
&= \frac{1}{\alpha(1/\beta+1/\gamma)+1}\left[u^{\alpha(1/\beta+1/\gamma)}\right]_{0}^{1}\\[0.7em]
&= \frac{1/\alpha}{1/\alpha+1/\beta+1/\gamma}
\end{align}
が得られる。
(3)
小問(2)と全く同様の手続きで$U_{1}=u_{1}$を条件付けた確率の$U_{1}$に関する期待値をとればよい。まず，$U_{1}$を条件付けた確率を求めると，
\begin{align}
P(X_{1}=\max(X_{1},\ldots,X_{n})|U_{1}=u_{1})
&= P((X_{1}>X_{2})\cap\ldots\cap(X_{1}>X_{n})|U_{1}=u_{1})\\[0.7em]
&= P((U_{1}^{\alpha_{1}}>U_{2}^{\alpha_{2}})\cap\ldots\cap(U_{1}^{\alpha_{1}}>U_{n}^{\alpha_{n}})|U_{1}=u_{1})\\[0.7em]
&= P((U_{2}<u_{1}^{\alpha_{1}/\alpha_{2}})\cap\ldots\cap(U_{n}<u_{n}^{\alpha_{1}/\alpha_{n}}))\\[0.7em]
&= P(U_{2}<u_{1}^{\alpha_{1}/\alpha_{2}})\cdots P(U_{n}<u_{n}^{\alpha_{1}/\alpha_{n}})\\[0.7em]
&= u^{\alpha_{1}(1/\alpha_{2}+\cdots+1/\alpha_{n})}
\end{align}
P(X_{1}=\max(X_{1},\ldots,X_{n})|U_{1}=u_{1})
&= P((X_{1}>X_{2})\cap\ldots\cap(X_{1}>X_{n})|U_{1}=u_{1})\\[0.7em]
&= P((U_{1}^{\alpha_{1}}>U_{2}^{\alpha_{2}})\cap\ldots\cap(U_{1}^{\alpha_{1}}>U_{n}^{\alpha_{n}})|U_{1}=u_{1})\\[0.7em]
&= P((U_{2}<u_{1}^{\alpha_{1}/\alpha_{2}})\cap\ldots\cap(U_{n}<u_{n}^{\alpha_{1}/\alpha_{n}}))\\[0.7em]
&= P(U_{2}<u_{1}^{\alpha_{1}/\alpha_{2}})\cdots P(U_{n}<u_{n}^{\alpha_{1}/\alpha_{n}})\\[0.7em]
&= u^{\alpha_{1}(1/\alpha_{2}+\cdots+1/\alpha_{n})}
\end{align}
となる。ただし，$U_{2},\ldots,U_{n}$は互いに独立であることを利用した。よって，小問(2)と同様に$U_{1}$に関する期待値をとると，
\begin{align}
E_{U_{1}}\left[P(X_{1}{=}\max(X_{1},\ldots,X_{n})|U_{1}{=}u_{1})\right]
&{=} \int_{0}^{1}u^{\alpha_{1}(1/\alpha_{2}+\cdots+1/\alpha_{n})}du\\[0.7em]
&{=} \frac{1}{\alpha_{1}(1/\alpha_{2}{+}{\cdots}{+}1/\alpha_{n}){+}1}\left[u^{\alpha_{1}(1/\alpha_{2}+\cdots+1/\alpha_{n})}\right]_{0}^{1}\\[0.7em]
&{=} \frac{1/\alpha_{1}}{1/\alpha_{1}{+}{\cdots}{+}1/\alpha_{n}}
\end{align}
E_{U_{1}}\left[P(X_{1}{=}\max(X_{1},\ldots,X_{n})|U_{1}{=}u_{1})\right]
&{=} \int_{0}^{1}u^{\alpha_{1}(1/\alpha_{2}+\cdots+1/\alpha_{n})}du\\[0.7em]
&{=} \frac{1}{\alpha_{1}(1/\alpha_{2}{+}{\cdots}{+}1/\alpha_{n}){+}1}\left[u^{\alpha_{1}(1/\alpha_{2}+\cdots+1/\alpha_{n})}\right]_{0}^{1}\\[0.7em]
&{=} \frac{1/\alpha_{1}}{1/\alpha_{1}{+}{\cdots}{+}1/\alpha_{n}}
\end{align}
が得られる。
コメント