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目次
超幾何分布の二項近似
超幾何分布は
\begin{align}
\lim_{N\rarr\infty}\frac{{}_{Np}C_{k}{}_{Nq}C_{n-k}}{{}_{N}C_{n}} &= {}_{n}C_{k}~p^{k}q^{n-k}
\end{align}
\lim_{N\rarr\infty}\frac{{}_{Np}C_{k}{}_{Nq}C_{n-k}}{{}_{N}C_{n}} &= {}_{n}C_{k}~p^{k}q^{n-k}
\end{align}
と二項近似される。
証明
${}_{n}C_{k}$以外の項をうまく$1$に収束するように変形するイメージです。
\begin{align}
\frac{{}_{Np}C_{k}{}_{Nq}C_{n-k}}{{}_{N}C_{n}}
&= \frac{(Np)!}{k!(Np-k)!}\frac{(Nq)!}{(n-k)!(Np-n+k)!}\frac{n!(N-n)!}{N!}\\[0.7em]
&= \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(Np)!(Nq)!(N-n)!}{(Np-k)!(Np-n+k)!N!}\\[0.7em]
&= {}_{n}C_{k}\frac{Np(Np-1)\cdots(Np-k+1)Nq(Nq-1)\cdots(Nq-n+k+1)}{N(N-1)\cdots(N-n+1)}\\[0.7em]
&= {}_{n}C_{k}\frac{p(p-1/N)\cdots(p-(k-1)/N)q(q-1/N)\cdots(q-(n-k-1)/N)}{(1-1/N)\cdots(1-(n-1)/N)}\\[0.7em]
&\rarr~{}_{n}C_{k}~p^{k}q^{n-k}\quad(N\rarr\infty)
\end{align}
\frac{{}_{Np}C_{k}{}_{Nq}C_{n-k}}{{}_{N}C_{n}}
&= \frac{(Np)!}{k!(Np-k)!}\frac{(Nq)!}{(n-k)!(Np-n+k)!}\frac{n!(N-n)!}{N!}\\[0.7em]
&= \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(Np)!(Nq)!(N-n)!}{(Np-k)!(Np-n+k)!N!}\\[0.7em]
&= {}_{n}C_{k}\frac{Np(Np-1)\cdots(Np-k+1)Nq(Nq-1)\cdots(Nq-n+k+1)}{N(N-1)\cdots(N-n+1)}\\[0.7em]
&= {}_{n}C_{k}\frac{p(p-1/N)\cdots(p-(k-1)/N)q(q-1/N)\cdots(q-(n-k-1)/N)}{(1-1/N)\cdots(1-(n-1)/N)}\\[0.7em]
&\rarr~{}_{n}C_{k}~p^{k}q^{n-k}\quad(N\rarr\infty)
\end{align}
母集団の数が限りなく多ければ非復元抽出も復元抽出とみなせることを主張しています。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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