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目次
ポアソン分布の部分和とカイ二乗分布
ポアソン分布の部分和とカイ二乗分布の間には
\begin{align}
\sum_{i=0}^{k}\frac{\lambda^{i}}{i!}e^{\lambda} &= \int_{2\lambda}^{\infty}f_{n}(x)dx
\end{align}
\sum_{i=0}^{k}\frac{\lambda^{i}}{i!}e^{\lambda} &= \int_{2\lambda}^{\infty}f_{n}(x)dx
\end{align}
という関係がある。ただし，$n=2(k+1)$であり$f_{n}(x)$は$\chi^{2}(n)$の確率密度関数である。
証明
やや恣意的ですが，部分積分を次々に行うことでポアソン分布の確率質量関数の形を出現させます。
\begin{align}
I
&= \frac{1}{k!}\int_{\lambda}^{\infty}t^{k}e^{-t}dt \\[0.7em]
&= \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}+\frac{1}{(k-1)!}\int_{\lambda}^{\infty}t^{k-1}e^{-t}dt \\[0.7em]
&= \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}+ \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda}+\frac{1}{(k-2)!}\int_{\lambda}^{\infty}t^{k-2}e^{-t}dt \\[0.7em]
&= \cdots\\[0.7em]
&= \sum_{i=0}^{k}\frac{\lambda^{i}}{i!}e^{-\lambda}
\end{align}
I
&= \frac{1}{k!}\int_{\lambda}^{\infty}t^{k}e^{-t}dt \\[0.7em]
&= \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}+\frac{1}{(k-1)!}\int_{\lambda}^{\infty}t^{k-1}e^{-t}dt \\[0.7em]
&= \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}+ \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda}+\frac{1}{(k-2)!}\int_{\lambda}^{\infty}t^{k-2}e^{-t}dt \\[0.7em]
&= \cdots\\[0.7em]
&= \sum_{i=0}^{k}\frac{\lambda^{i}}{i!}e^{-\lambda}
\end{align}
一方，$I$において$t=x/2$とおけば，
\begin{align}
I
&= \frac{1}{(n/2-1)!}\int_{2\lambda}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^{n/2-1}e^{-x/2}\frac{dx}{2}\\[0.7em]
&= \int_{2\lambda}^{\infty}\frac{1}{2^{n/2}(n/2-1)!}x^{n/2-1}e^{-x/2}dx\\[0.7em]
&= \int_{2\lambda}^{\infty}f_{n}(x)dx
\end{align}
I
&= \frac{1}{(n/2-1)!}\int_{2\lambda}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^{n/2-1}e^{-x/2}\frac{dx}{2}\\[0.7em]
&= \int_{2\lambda}^{\infty}\frac{1}{2^{n/2}(n/2-1)!}x^{n/2-1}e^{-x/2}dx\\[0.7em]
&= \int_{2\lambda}^{\infty}f_{n}(x)dx
\end{align}
となるため，$I$はカイ二乗分布の上側確率で表されることが示されました。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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