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目次
ガンマ分布とベータ分布の関係
二つの独立な確率変数$X{\sim}\Ga(a, c)$と$Y{\sim }\Ga(b,c)$に対し，$U{=}X/(X{+}Y)$は$\Be(a, b)$に従う。
証明
$V{=}X+Y$とおくと，逆変換は$X{=}UV$と$Y{=}V(1-U)$となるため，ヤコビアンは
\begin{align}
\det J
&= \det
\begin{pmatrix}
\partial x/\partial u&\partial x/\partial v\\
\partial y/\partial u&\partial y/\partial v
\end{pmatrix}
= \det
\begin{pmatrix}
v&u\\
-v&1-u
\end{pmatrix}
= v
\end{align}
\det J
&= \det
\begin{pmatrix}
\partial x/\partial u&\partial x/\partial v\\
\partial y/\partial u&\partial y/\partial v
\end{pmatrix}
= \det
\begin{pmatrix}
v&u\\
-v&1-u
\end{pmatrix}
= v
\end{align}
となります。したがって，$U$と$V$の同時確率密度関数は
\begin{align}
f(u,v)
&= \left\{\frac{c^{a}}{\Gamma(a)}(uv)^{a-1}e^{-cuv}\right\}\cdot\left[\frac{c^{b}}{\Gamma(b)}\left\{v(1-u)\right\}^{b-1}e^{-cv(1-u)}\right]\cdot v\\[0.7em]
&= \left\{\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}u^{a-1}(1-u)^{b-1}\right\}\cdot\left\{\frac{c^{a+b}}{\Gamma(a+b)}v^{a+b-1}e^{-cv}\right\}\\[0.7em]
&= f(u)f(v)
\end{align}
f(u,v)
&= \left\{\frac{c^{a}}{\Gamma(a)}(uv)^{a-1}e^{-cuv}\right\}\cdot\left[\frac{c^{b}}{\Gamma(b)}\left\{v(1-u)\right\}^{b-1}e^{-cv(1-u)}\right]\cdot v\\[0.7em]
&= \left\{\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}u^{a-1}(1-u)^{b-1}\right\}\cdot\left\{\frac{c^{a+b}}{\Gamma(a+b)}v^{a+b-1}e^{-cv}\right\}\\[0.7em]
&= f(u)f(v)
\end{align}
と表されます。ただし，$0<u<1$かつ$0<v$です。したがって，$U$は$\Be(a, b)$に従うことが示されました。
$V$が$\Ga(a+b,c)$に従うことも同時に示されますが，これはガンマ分布の再生成より自明といえます。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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