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非心$t$分布
$U\sim\N(\lambda,1)$と$V\sim\chi^{2}(n)$に対して$T{=}U/\sqrt{V/n}$が従う分布を自由度$n$，非心度$\lambda$の非心$t$分布といい，$t(n,\lambda)$と表す。$t(n,\lambda)$の確率密度関数は下記となる。
f(t)
&= \cfrac{e^{-\lambda^{2}/2}}{\sqrt{\pi n}\Gamma\left(\cfrac{n}{2}\right)}
\sum_{i=0}^{\infty}\cfrac{\Gamma\left(\cfrac{n+1+i}{2}\right)2^{i/2}\lambda^{i}t^{i}}{\left(1+\cfrac{t^{2}}{n}\right)^{(n+1+i)/2}i!n^{i/2}}\label{主題}
\end{align}
通常の$t$分布と異なるのは$U$が標準正規分布ではなく平均が$\lambda$の正規分布に従う点です。
証明
$t$分布の導出と全く同様の議論を行います。$U$の逆変換は
U &= \sqrt{\frac{V}{n}}T
\end{align}
となり，$U$と$V$の同時確率密度関数$f(u,v)$は
f(u,v) &=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{1}{2}(u-\lambda)^{2}\right\}
\frac{v^{n/2-1}e^{-v/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}
\end{align}
となります。$(U,V)$から$(T,V)$の変数変換は$U$から$T$へのヤコビアンを考えればよく，
J &= \abs\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) = \sqrt{\frac{v}{n}}
\end{align}
となることから，$T$と$V$の同時確率密度関数が
f(t,v)
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{1}{2}\left(t\sqrt{v/n}-\lambda\right)^{2}\right\}
\frac{v^{n/2-1}e^{-v/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}\sqrt{\frac{v}{n}}\\[0.7em]
&= \frac{v^{(n+1)/2-1}e^{-v(1+t^{2}/n)/2}e^{-\lambda^{2}/2}e^{t\lambda\sqrt{v/n}}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)\sqrt{2\pi n}}\label{uとvの同時確率密度関数}
\end{align}
であることが得られます。あとは$f(t,v)$の周辺確率密度関数$f(t)$を求めるだけですが，$e^{t\lambda\sqrt{v/n}}$の積分が難しそうです。そこで，多項式に近似して項別積分を行うため，マクローリン展開
e^{t\lambda\sqrt{v/n}}
&= \sum_{i=1}^{\infty}\frac{(t\lambda\sqrt{v/n})^{i}}{i!} = \sum_{i=1}^{\infty}\frac{t^{i}\lambda^{i}v^{i/2}}{i!n^{i/2}}\label{マクローリン展開}
\end{align}
を利用することを考えます。式($\ref{マクローリン展開}$)を式($\ref{uとvの同時確率密度関数}$)に代入します。
f(t,v)
&= \frac{v^{(n+1)/2-1}e^{-v(1+t^{2}/n)/2}e^{-\lambda^{2}/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)\sqrt{2\pi n}}\sum_{0=1}^{\infty}\frac{t^{i}\lambda^{i}v^{i/2}}{i!n^{i/2}}\label{代入後}
\end{align}
総和における$i$番目の項に着目すると，$v$の積分対象となるのは
v^{i/2}v^{(n+1)/2-1}e^{-v(1+t^{2}/n)/2} &= v^{(n+1+i)/2-1}e^{-v(1+t^{2}/n)/2}\label{積分対象}
\end{align}
です。式($\ref{積分対象}$)がガンマ分布の確率密度関数の形に似ていることに注目すると，
&\int_{0}^{\infty}v^{(n+1+i)/2}e^{-v(1+t^{2}/n)/2}dv\notag\\[0.7em]
&= \frac{\Gamma((n+1+i)/2)}{\left\{(1+t^{2}/n)/2\right\}^{(n+1+i)/2}}\int_{0}^{\infty}\frac{\left\{(1+t^{2}/n)/2\right\}^{(n+1+i)/2}}{\Gamma((n+1+i)/2)}v^{(n+1+i)/2-1}e^{-v(1+t^{2}/n)/2}dv\\[0.7em]
&= \frac{\Gamma((n+1+i)/2)}{\left\{(1+t^{2}/n)/2\right\}^{(n+1+i)/2}}
\end{align}
が得られます。ただし，ガンマ分布の定義域が$[0,\infty)$であり，ガンマ分布の確率密度関数を$[0,\infty)$で積分すると$1$となることを利用しました。これを利用して$f(t,v)$の周辺確率密度関数$f(t)$を求めます。
f(t) &= \int_{0}^{\infty}f(u,v)dv \\[0.7em]
&= \int_{0}^{\infty}\frac{v^{(n+1)/2-1}e^{-v(1+t^{2}/n)/2}e^{-\lambda^{2}/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)\sqrt{2\pi n}}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{t^{i}\lambda^{i}v^{i/2}}{i!n^{i/2}}dv\\[0.7em]
&= \frac{e^{-\lambda^{2}/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)\sqrt{2\pi n}}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\lambda^{i}t^{i}}{i!n^{i/2}}\int_{0}^{\infty}v^{(n+1+i)/2-1}e^{-v(1+t^{2}/n)/2}dv\\[0.7em]
&= \frac{e^{-\lambda^{2}/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)\sqrt{2\pi n}}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\Gamma((n+1+i)/2)\lambda^{i}t^{i}}{\left\{(1+t^{2}/n)/2\right\}^{(n+1+i)/2}i!n^{i/2}}\\[0.7em]
&= \frac{e^{-\lambda^{2}/2}}{\sqrt{\pi n}\Gamma(n/2)}2^{-(n+1)/2}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\Gamma((n+1+i)/2)\lambda^{i}t^{i}}{\left(1+t^{2}/n\right)^{(n+1+i)/2}i!n^{i/2}}2^{(n+1+i)/2}\\[0.7em]
&= \frac{e^{-\lambda^{2}/2}}{\sqrt{\pi n}\Gamma(n/2)}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\Gamma((n+1+i)/2)2^{i/2}\lambda^{i}t^{i}}{\left(1+t^{2}/n\right)^{(n+1+i)/2}i!n^{i/2}}\\[0.7em]
\end{align}
以上より，非心$t$分布の確率密度関数が式($\ref{主題}$)で表されることが示されました。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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