本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
はさみうちの原理
数列$(a_{n})_{n\in\mN}$，数列$(b_{n})_{n\in\mN}$がともに$a$に収束し，すべての$n\in\mN$に対し$a_{n}\leq b_{n}$をみたすとする。いま，数列$(c_{n})_{n\in\mN}$が
\begin{align}
a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}\label{仮定}
\end{align}
a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}\label{仮定}
\end{align}
をみたすならば，$(c_{n})$も$a$に収束する。
高校数学では天下り的に与えられている「はさみうちの原理」は，収束の定義であるイプシロンエヌ論法を用いて証明することができます。
証明
収束の定義より，任意の$\varepsilon$に対して$n_{0}\in\mN$が存在して，$n\geq n_{0}$ならば，
\begin{align}
|a-a_{n}| < \varepsilon,\quad |a-b_{n}| < \varepsilon
\end{align}
|a-a_{n}| < \varepsilon,\quad |a-b_{n}| < \varepsilon
\end{align}
が成り立ちます。このとき，仮定($\ref{仮定}$)に注意すると，以下が得られます。
\begin{align}
a-\varepsilon< a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}<a+\varepsilon
\end{align}
a-\varepsilon< a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}<a+\varepsilon
\end{align}
これより$|a-c_{n}|<\varepsilon$が得られますが，収束の定義より，これは$(c_{n})$が$a$に収束することを表しています。
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