本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
極限と順序
数列$(a_{n})_{n\in\mN}$，数列$(b_{n})_{n\in\mN}$がそれぞれ$a,b$に収束するとき，任意の$n\in\mN$に対し
\begin{align}
a_{n}\leq b_{n}\label{仮定}
\end{align}
a_{n}\leq b_{n}\label{仮定}
\end{align}
ならば$a\leq b$である。
極限は順序を保存することを主張しています。
証明
背理法を利用します。もし，式($\ref{仮定}$)のとき$a>b$であるとします。$(a_{n})$，数列$(b_{n})$はそれぞれ$a,b$に収束しますから，収束の定義より，任意の$\varepsilon$に対して
\begin{align}
|a-a_{n}|<\varepsilon,\quad |b-b_{n}|<\varepsilon
\end{align}
|a-a_{n}|<\varepsilon,\quad |b-b_{n}|<\varepsilon
\end{align}
が成り立ちます。すなわち，
\begin{align}
a-\varepsilon<a_{n}\quad b_{n}<b+\varepsilon
\end{align}
a-\varepsilon<a_{n}\quad b_{n}<b+\varepsilon
\end{align}
が成り立ちます。ここで，$\varepsilon=(1-b)/2$となるような$\varepsilon$を考えれば$a-\varepsilon=b+\varepsilon$となりますので，
\begin{align}
b_{n} < b+\varepsilon = a-\varepsilon < a_{n}
\end{align}
b_{n} < b+\varepsilon = a-\varepsilon < a_{n}
\end{align}
が得られます。$b_{n}<a_{n}$は式($\ref{仮定}$)に矛盾しますので，$a\leq b$となることが示されました。
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