【徹底解説】上限/下限の必要十分条件

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

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上限/下限の必要十分条件

mRが集合ARの上限となるための必要十分条件はつぎの二つである。

  1. 任意のaAに対し,am
  2. 任意のx<mに対し,x<aとなるaAが存在する

2.は以下のように書き換えられる。

  1. 任意のε>0に対し,mε<xmとなるxAが存在する

同様に,lRAの下限となるための必要十分条件はつぎの二つである。

  1. 任意のbAに対し,bl
  2. 任意のx>lに対し,x>bとなるbAが存在する

4.は以下のように書き換えられる。

  1. 任意のε>0に対し,lx<l+εとなるxAが存在する

上限は上界の集合の最小元として定義されましたから,上界である条件と最小元である条件を合わせれば必要十分条件になります。同様に,下限は下界の集合の最大元として定義されましたから,下界である条件と最大元である条件を合わせれば必要十分条件になります。

証明

1.はmAの上界である条件を表し,2.はx<mとなるxが上界ではない条件を表します。2.の言い換えは,mが数直線上で属する区間の左端となることを意味しています。したがって,1.かつ2.はmが上界の最小元であること,すなわち上限である必要十分条件を表します。同様に,3.はlAの下界である条件を表し,4.はx>lとなるxが下界ではない条件を表します。4.の言い換えは,lが数直線上で属する区間の右端となることを意味しています。したがって,3.かつ4.はlが下界の最大元であること,すなわち下限である必要十分条件を表します。

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