本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
全微分
$z=f(x,y)$は点$(a,b)\in\mR^{2}$で全微分可能とする。このとき，
\begin{align}
dz &= f_{x}(a,b)dx+f_{y}(a,b)dy\label{主題}
\end{align}
dz &= f_{x}(a,b)dx+f_{y}(a,b)dy\label{主題}
\end{align}
が成り立ち，これを$f$の$(a,b)$における全微分という。
全微分可能性から導かれる偏導関数との関係を全微分と定義します。
証明
$z=f(x,y)$が点$(a,b)$で全微分可能であることから，
\begin{align}
f(a+h,b+k) - f(a,b) &= Ah+Bk+\varepsilon(h,k)\sqrt{h^2+k^2}\label{全微分可能}
\end{align}
f(a+h,b+k) - f(a,b) &= Ah+Bk+\varepsilon(h,k)\sqrt{h^2+k^2}\label{全微分可能}
\end{align}
が成り立ちます。式($\ref{全微分可能}$)で$k=0$とおくと，
\begin{align}
f(a+h,b) - f(a,b) &= Ah+\varepsilon(h,0)\sqrt{h^2}
\end{align}
f(a+h,b) - f(a,b) &= Ah+\varepsilon(h,0)\sqrt{h^2}
\end{align}
が得られます。$h\geq0$のとき$\sqrt{h^{2}}=h$となりますから，$h$で両辺を割ることにより，
\begin{align}
\frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h} &= A+\varepsilon(h,0)
\end{align}
\frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h} &= A+\varepsilon(h,0)
\end{align}
が得られます。一方，$h<0$のとき$\sqrt{h^{2}}=-h$となりますから，$h$で両辺を割ることにより，
\begin{align}
\frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h} &= A-\varepsilon(h,0)
\end{align}
\frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h} &= A-\varepsilon(h,0)
\end{align}
が得られます。$f(x,y)$は点$(a,b)$で全微分可能でしたから，$h\rarr0$のとき$\varepsilon(h,0)\rarr0$となります。したがって，$h\geq0$と$h<0$の両方の場合で
\begin{align}
A &= \lim_{h\rarr0}\frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h} = f_{x}(a,b)\label{A}
\end{align}
A &= \lim_{h\rarr0}\frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h} = f_{x}(a,b)\label{A}
\end{align}
となります。まったく同様にして，式($\ref{全微分可能}$)で$h=0$とおくと，
\begin{align}
B &= \lim_{k\rarr0}\frac{f(a,b+k) - f(a,b+k)}{k} = f_{y}(a,b)\label{B}
\end{align}
B &= \lim_{k\rarr0}\frac{f(a,b+k) - f(a,b+k)}{k} = f_{y}(a,b)\label{B}
\end{align}
となります。$(h,k)\rarr(0,0)$のとき，
\begin{align}
\lim_{(h,k)\rarr(0,0)}\left\{f(a+h,b+k) - f(a,b)\right\} &= dz
\end{align}
\lim_{(h,k)\rarr(0,0)}\left\{f(a+h,b+k) - f(a,b)\right\} &= dz
\end{align}
に注意して，式($\ref{全微分可能}$)に式($\ref{A}$)と式($\ref{B}$)を代入すると，式($\ref{主題}$)が得られます。
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