本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
合成関数の偏微分と連鎖律
$f(x,y)$は点$(x,y)$で全微分可能，$x,y$は微分可能な関数とし，$z=f(x,y)$とする。$x,y$が$t$の関数のときは，
\frac{df}{dt} &= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\label{主題1}
\end{align}
が成り立つ。$x,y$が$u,v$の関数のときは，
\frac{\partial f}{\partial u} &= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\label{主題2}\\[0.7em]
\frac{\partial f}{\partial v} &= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\label{主題3}
\end{align}
が成り立つ。
連鎖律はチェインルールともよばれます。
証明
まず，式($\ref{主題1}$)を証明します。表記の簡単のため，微少量$\Delta t$に対して
\Delta x &= x(t+\Delta t)-x(t)\\[0.7em]
\Delta y &= y(t+\Delta t)-y(t)\\[0.7em]
\Delta f &= f(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t)) - f(x(t),y(t))
\end{align}
とおきます。$z$は点$(x,y)$で全微分可能であることから，
\Delta f &= A\Delta x+B\Delta y+\varepsilon(\Delta x,\Delta y)\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\label{微分可能性}
\end{align}
に対して，$\Delta t\rarr0$において$\varepsilon\rarr0$が成り立つような$A,B$が存在します。実際に，全微分の定義より，そのような$A,B$は
A &=\frac{\partial f}{\partial x},\quad B = \frac{\partial f}{\partial y}\label{全微分}
\end{align}
となります。式($\ref{微分可能性}$)において，両辺を$\Delta t$で割ると，
\frac{\Delta f}{\Delta t} &= A\frac{\Delta x}{\Delta t}+B\frac{\Delta y}{\Delta t}+\varepsilon(\Delta x,\Delta y)\sqrt{\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^{2}+\left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^{2}}
\end{align}
が得られます。$\Delta t\rarr0$のとき$\varepsilon\rarr 0$となることに注意して式($\ref{全微分}$)を代入すると，式($\ref{主題1}$)が得られます。同様に，式($\ref{主題2}$)と式($\ref{主題3}$)を証明します。表記の簡単のため，新しく
\Delta x &= x(u+\Delta u)-x(u)\\[0.7em]
\Delta y &= y(v+\Delta v)-y(v)\\[0.7em]
\Delta f &= f(x(u+\Delta u),y(v+\Delta v)) - f(x(u),y(v))
\end{align}
とおきます。$z$は点$(x,y)$で全微分可能であることから，式($\ref{微分可能性}$)に対して，$(\Delta u,\Delta v)\rarr(0,0)$において$\varepsilon\rarr0$が成り立つような$A,B$が存在します。実際に，全微分の定義より，そのような$A,B$は式($\ref{全微分}$)となります。式($\ref{微分可能性}$)において，$\Delta v=0$のときを考えます。両辺を$\Delta u$で割ると，
\frac{\Delta f}{\Delta u} &= A\frac{\Delta x}{\Delta u}+B\frac{\Delta y}{\Delta u}\varepsilon(\Delta x,\Delta y)\sqrt{\left(\frac{\Delta x}{\Delta u}\right)^{2}{+}\left(\frac{\Delta y}{\Delta u}\right)^{2}}
\end{align}
が得られます。$\Delta u\rarr0$のとき$\varepsilon\rarr 0$となることに注意して式($\ref{全微分}$)を代入すると，式($\ref{主題2}$)が得られます。同様に，式($\ref{微分可能性}$)において，$\Delta u=0$のときを考えます。両辺を$\Delta v$で割ると，
\frac{\Delta f}{\Delta v} &= A\frac{\Delta x}{\Delta v}+B\frac{\Delta y}{\Delta v}\varepsilon(\Delta x,\Delta y)\sqrt{\left(\frac{\Delta x}{\Delta v}\right)^{2}{+}\left(\frac{\Delta y}{\Delta v}\right)^{2}}
\end{align}
が得られます。$\Delta v\rarr0$のとき$\varepsilon\rarr 0$となることに注意して式($\ref{全微分}$)を代入すると，式($\ref{主題3}$)が得られます。
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