【徹底解説】ライプニッツの公式

2022年8月14日

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

ライプニッツの公式

関数 $f, g$ は $n$ 階微分可能で $f^{(0)} = f$ ， $g^{(0)} = g$ とする。このとき，次が成り立つ。

\begin{aligned} (1) & (f g)^{(n)} & = \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} f^{(k)} g^{(n - k)} \end{aligned}

本質的に二項定理と通じる公式です。

数学的帰納法を利用します。 $n = 1$ のとき，

\begin{aligned} (2) & (f g)^{(1)} & = f^{(1)} g^{(0)} + f^{(0)} g^{(1)} = \sum_{k = 0}^{1}_{1} C_{k} f^{(k)} g^{(1 - k)} \end{aligned}

より，式( $1$ )は成り立ちます。 $n = l$ のとき，式( $1$ )が成り立つと仮定します。すなわち，

\begin{aligned} (3) & (f g)^{(l)} & = \sum_{k = 0}^{l}_{l} C_{k} f^{(k)} g^{(l - k)} \end{aligned}

が成り立つと仮定します。両辺を微分すると，

\begin{aligned} (4) & (f g)^{(l + 1)} & = \sum_{k = 0}^{l}_{l} C_{k} (f^{(k + 1)} g^{(l - k)} + f^{(k)} g^{(l - k + 1)}) \\ (5) & = \sum_{k = 0}^{l}_{l} C_{k} f^{(k + 1)} g^{(l - k)} + \sum_{k = 0}^{l}_{l} C_{k} f^{(k)} g^{(l - k + 1)} \\ (6) & = \sum_{k = 1}^{l + 1}_{l} C_{k - 1} f^{(k)} g^{(l - k + 1)} + \sum_{k = 0}^{l}_{l} C_{k} f^{(k)} g^{(l - k + 1)} \\ (7) & = f^{(0)} g^{(l + 1)} + \sum_{k = 1}^{l} (_{l} C_{k - 1} +_{l} C_{k}) f^{(k)} g^{(l - k + 1)} + f^{(l + 1)} g^{(0)} \\ (8) & = f^{(0)} g^{(l + 1)} + \sum_{k = 1}^{l}_{l + 1} C_{k} f^{(k)} g^{(l - k + 1)} + f^{(l + 1)} g^{(0)} \\ (9) & = \sum_{k = 0}^{l + 1}_{l + 1} C_{k} f^{(k)} g^{(l - k + 1)} \end{aligned}

が得られます。したがって， $n = l + 1$ のときも式( $1$ )が成り立つことが示されました。ただし，二項係数に関する以下の関係を利用しました。

\begin{aligned} (10) & _{l} C_{k - 1} +_{l} C_{k} & = \frac{l!}{(k - 1)! (l - k + 1)!} + \frac{l!}{k! (l - k)!} \\ (11) & = \frac{l!}{(k - 1)! (l - k)!} (\frac{1}{l - k + 1} + \frac{1}{k}) \\ (12) & = \frac{l!}{(k - 1)! (l - k)!} \frac{l + 1}{k (l - k + 1)} \\ (13) & = \frac{(l + 1)!}{k! (l + 1 - k)!} \\ (14) & =_{l + 1} C_{k} \end{aligned}

以上より，任意の自然数 $n$ に対して式( $1$ )が成り立ちます。

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