本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
基本行列の逆行列
基本行列$P_{i,c},Q_{i,j,c},R_{i,j,c},S_{i,j}$の逆行列は以下のように表される。
\begin{align*}
P_{i,c}^{-1} ~&=~
\begin{array}{cc}
&\begin{array}{ccccccc}1&\cdots&\cdots&i&\cdots&\cdots&n\end{array} \\[0.7em]
\begin{array}{ccccccc}1\\\vdots\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]i\\\vdots\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]n\end{array}&
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&c^{-1}\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\end{array}\\[0.7em]\\[0.7em]
Q_{i,j,c}^{-1} ~&=~
\begin{array}{cc}
&\begin{array}{ccccccc}1&\cdots&i&\cdots&j&\cdots&n\end{array} \\[0.7em]
\begin{array}{ccccccc}1\\\vdots\\[0.2em]i\\\vdots\\[0.2em]j\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]n\end{array}&
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1\\
&&\vdots&\ddots\\
&&-c&\cdots&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\end{array}\\[0.7em]\\[0.7em]
R_{i,j,c}^{-1} ~&=~
\begin{array}{cc}
&\begin{array}{ccccccc}1&\cdots&j&\cdots&i&\cdots&n\end{array} \\[0.7em]
\begin{array}{ccccccc}1\\\vdots\\[0.2em]j\\\vdots\\[0.2em]i\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]n\end{array}&
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1&\cdots&-c\\
&&&\ddots&\vdots\\
&&&&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\end{array}\\[0.7em]\\[0.7em]
S_{i,j}^{-1} ~&=~
\begin{array}{cc}
&\begin{array}{ccccccc}1&\cdots&i&\cdots&j&\cdots&n\end{array} \\[0.7em]
\begin{array}{ccccccc}1\\\vdots\\[0.2em]i\\\vdots\\[0.2em]j\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]n\end{array}&
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&0&\cdots&1\\
&&\vdots&\ddots&\vdots\\
&&1&\cdots&0\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\end{array}
\end{align*}
P_{i,c}^{-1} ~&=~
\begin{array}{cc}
&\begin{array}{ccccccc}1&\cdots&\cdots&i&\cdots&\cdots&n\end{array} \\[0.7em]
\begin{array}{ccccccc}1\\\vdots\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]i\\\vdots\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]n\end{array}&
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&c^{-1}\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\end{array}\\[0.7em]\\[0.7em]
Q_{i,j,c}^{-1} ~&=~
\begin{array}{cc}
&\begin{array}{ccccccc}1&\cdots&i&\cdots&j&\cdots&n\end{array} \\[0.7em]
\begin{array}{ccccccc}1\\\vdots\\[0.2em]i\\\vdots\\[0.2em]j\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]n\end{array}&
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1\\
&&\vdots&\ddots\\
&&-c&\cdots&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\end{array}\\[0.7em]\\[0.7em]
R_{i,j,c}^{-1} ~&=~
\begin{array}{cc}
&\begin{array}{ccccccc}1&\cdots&j&\cdots&i&\cdots&n\end{array} \\[0.7em]
\begin{array}{ccccccc}1\\\vdots\\[0.2em]j\\\vdots\\[0.2em]i\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]n\end{array}&
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1&\cdots&-c\\
&&&\ddots&\vdots\\
&&&&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\end{array}\\[0.7em]\\[0.7em]
S_{i,j}^{-1} ~&=~
\begin{array}{cc}
&\begin{array}{ccccccc}1&\cdots&i&\cdots&j&\cdots&n\end{array} \\[0.7em]
\begin{array}{ccccccc}1\\\vdots\\[0.2em]i\\\vdots\\[0.2em]j\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]n\end{array}&
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&0&\cdots&1\\
&&\vdots&\ddots&\vdots\\
&&1&\cdots&0\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\end{array}
\end{align*}
基本行列の逆行列は非常に簡単に求められるという性質があります。
証明
実際に行列積を計算することで証明を行うことができます。以下では$I_{n}$は$n$次元単位行列とします。まずは$P_{i,c}^{-1}$から確認します。
\begin{align}
P_{i,c}P_{i,c}^{-1} &=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&c\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&c^{-1}\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix} \\[0.7em]
&=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&1\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix} = I_{n}\\[0.7em]
P_{i,c}^{-1}P_{i,c} &=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&c^{-1}\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&c\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&1\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix} = I_{n}
\end{align}
P_{i,c}P_{i,c}^{-1} &=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&c\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&c^{-1}\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix} \\[0.7em]
&=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&1\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix} = I_{n}\\[0.7em]
P_{i,c}^{-1}P_{i,c} &=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&c^{-1}\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&c\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&1\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix} = I_{n}
\end{align}
次に，$Q_{i,j,c}^{-1}$を確認します。
\begin{align}
Q_{i,j,c}Q_{i,j,c}^{-1} &=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1\\
&&\vdots&\ddots\\
&&c&\cdots&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1\\
&&\vdots&\ddots\\
&&-c&\cdots&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&1\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix} = I_{n}\\[0.7em]
Q_{i,j,c}^{-1}Q_{i,j,c} &=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1\\
&&\vdots&\ddots\\
&&-c&\cdots&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1\\
&&\vdots&\ddots\\
&&c&\cdots&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&1\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix} = I_{n}
\end{align}
Q_{i,j,c}Q_{i,j,c}^{-1} &=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1\\
&&\vdots&\ddots\\
&&c&\cdots&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1\\
&&\vdots&\ddots\\
&&-c&\cdots&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&1\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix} = I_{n}\\[0.7em]
Q_{i,j,c}^{-1}Q_{i,j,c} &=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1\\
&&\vdots&\ddots\\
&&-c&\cdots&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1\\
&&\vdots&\ddots\\
&&c&\cdots&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&1\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix} = I_{n}
\end{align}
次に，$R_{i,j,c}^{-1}$を確認します。
\begin{align}
R_{i,j,c}R_{i,j,c}^{-1} &=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1&\cdots&c\\
&&&\ddots&\vdots\\
&&&&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1&\cdots&-c\\
&&&\ddots&\vdots\\
&&&&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&1\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix} = I_{n}\\[0.7em]
R_{i,j,c}^{-1}R_{i,j,c} &=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1&\cdots&-c\\
&&&\ddots&\vdots\\
&&&&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1&\cdots&c\\
&&&\ddots&\vdots\\
&&&&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&1\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix} = I_{n}
\end{align}
R_{i,j,c}R_{i,j,c}^{-1} &=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1&\cdots&c\\
&&&\ddots&\vdots\\
&&&&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1&\cdots&-c\\
&&&\ddots&\vdots\\
&&&&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&1\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix} = I_{n}\\[0.7em]
R_{i,j,c}^{-1}R_{i,j,c} &=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1&\cdots&-c\\
&&&\ddots&\vdots\\
&&&&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1&\cdots&c\\
&&&\ddots&\vdots\\
&&&&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&1\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix} = I_{n}
\end{align}
最後に，$S_{i,j}^{-1}$を確認します。
\begin{align}
S_{i,j}S_{i,j}^{-1} &= S_{i,j}^{-1}S_{i,j} \\[0.7em]
&=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&0&\cdots&1\\
&&\vdots&\ddots&\vdots\\
&&1&\cdots&0\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&0&\cdots&1\\
&&\vdots&\ddots&\vdots\\
&&1&\cdots&0\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&1\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix} = I_{n}
\end{align}
S_{i,j}S_{i,j}^{-1} &= S_{i,j}^{-1}S_{i,j} \\[0.7em]
&=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&0&\cdots&1\\
&&\vdots&\ddots&\vdots\\
&&1&\cdots&0\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&0&\cdots&1\\
&&\vdots&\ddots&\vdots\\
&&1&\cdots&0\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&1\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix} = I_{n}
\end{align}
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