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【徹底解説】確率母関数の性質

2022年6月23日

本記事は「これなら分かる！はじめての数理統計学」シリーズに含まれます。

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目次

確率母関数の性質
証明
参考文献

確率母関数の性質

$G_{X} (\cdot)$ を $X$ の確率母関数とするとき

\begin{aligned} (1) & G_{X}^{(m)} (1) & \equiv {\frac{d^{m}}{d t^{m}} M_{X} (t) |}_{t = 1} \\ (2) & = E [X (X - 1) \dots (X - m + 1)] \end{aligned}

確率母関数の真骨頂でもある定理です。確率母関数を $m$ 回微分して $1$ を代入する操作は，各種離散分布の期待値や分散を計算する際に用いられます。

証明

\begin{aligned} (3) & G_{X}^{(m)} (1) & \equiv {\frac{d^{m}}{d t^{m}} G_{X} (t) |}_{t = 1} \\ (4) & = {\frac{d^{m}}{d t^{m}} E [t^{x}] |}_{t = 1} \\ (5) & = {\frac{d^{m}}{d t^{m}} \sum_{x = 0}^{\infty} t^{x} f_{X} (x) |}_{t = 1} \\ (6) & = {\frac{d^{(m - 1)}}{d t^{(m - 1)}} \sum_{x = 0}^{\infty} x t^{x - 1} f_{X} (x) |}_{t = 1} \\ = \dots \\ (7) & = {\sum_{x = 0}^{\infty} x (x - 1) \dots (x - m + 1) t^{x - m} f_{X} (x) |}_{t = 1} \\ (8) & = \sum_{x = 0}^{\infty} x (x - 1) \dots (x - m + 1) f_{X} (x) \\ (9) & = E [X (X - 1) \dots (X - m + 1)] \end{aligned}

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。

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