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目次
確率母関数の性質
$G_{X}(\cdot)$を$X$の確率母関数とするとき
\begin{align}
G_{X}^{(m)}(1) &\equiv \left.\frac{d^m}{dt^m}M_{X}(t)\right|_{t=1} \\[0.7em]
&= E\left[X(X-1)\cdots(X-m+1)\right]
\end{align}
G_{X}^{(m)}(1) &\equiv \left.\frac{d^m}{dt^m}M_{X}(t)\right|_{t=1} \\[0.7em]
&= E\left[X(X-1)\cdots(X-m+1)\right]
\end{align}
確率母関数の真骨頂でもある定理です。確率母関数を$m$回微分して$1$を代入する操作は，各種離散分布の期待値や分散を計算する際に用いられます。
証明
\begin{align}
G_{X}^{(m)}(1) &\equiv \left.\frac{d^m}{dt^m}G_{X}(t)\right|_{t=1} \\[0.7em]
&= \left.\frac{d^m}{dt^m}E[t^{x}]\right|_{t=1} \\[0.7em]
&= \left.\frac{d^m}{dt^m} \sum_{x=0}^{\infty} t^{x}f_{X}(x)\right|_{t=1}\\[0.7em]
&= \left.\frac{d^{(m-1)}}{dt^{(m-1)}} \sum_{x=0}^{\infty} x t^{x-1}f_{X}(x)\right|_{t=1}\\[0.7em]
&= \cdots \notag \\[0.7em]
&= \left. \sum_{x=0}^{\infty} x(x - 1)\cdots (x - m + 1) t^{x-m}f_{X}(x)\right|_{t=1} \\[0.7em]
&= \sum_{x=0}^{\infty} x(x - 1)\cdots (x - m + 1) f_{X}(x) \\[0.7em]
&= E\left[X(X-1)\cdots(X-m+1)\right]
\end{align}
G_{X}^{(m)}(1) &\equiv \left.\frac{d^m}{dt^m}G_{X}(t)\right|_{t=1} \\[0.7em]
&= \left.\frac{d^m}{dt^m}E[t^{x}]\right|_{t=1} \\[0.7em]
&= \left.\frac{d^m}{dt^m} \sum_{x=0}^{\infty} t^{x}f_{X}(x)\right|_{t=1}\\[0.7em]
&= \left.\frac{d^{(m-1)}}{dt^{(m-1)}} \sum_{x=0}^{\infty} x t^{x-1}f_{X}(x)\right|_{t=1}\\[0.7em]
&= \cdots \notag \\[0.7em]
&= \left. \sum_{x=0}^{\infty} x(x - 1)\cdots (x - m + 1) t^{x-m}f_{X}(x)\right|_{t=1} \\[0.7em]
&= \sum_{x=0}^{\infty} x(x - 1)\cdots (x - m + 1) f_{X}(x) \\[0.7em]
&= E\left[X(X-1)\cdots(X-m+1)\right]
\end{align}
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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