本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
極形式の一意性
$V$を$n$次元内積空間，$g$を$V$上のエルミート形式とする。このとき，$g$の極形式$f$は一意に定まる。
エルミート形式$g$とその極形式は一対一対応するという定理です。
証明
まずは，$g$が二次形式である場合を考えます。$f$は対称双一次形式でもありますので，
\begin{align}
f(u+v,u+v) &= f(u,u)+f(u,v)+f(v,u)+f(v,v)\\[0.7em]
&= f(u,u)+2f(u,v)+f(v,v)
\end{align}
f(u+v,u+v) &= f(u,u)+f(u,v)+f(v,u)+f(v,v)\\[0.7em]
&= f(u,u)+2f(u,v)+f(v,v)
\end{align}
が成り立ちます。これを変形すると，
\begin{align}
f(u,v) &= \frac{1}{2}\left\{f(u+v,u+v)-f(u,u)-f(v,v)\right\}\\[0.7em]
&= \frac{1}{2}\left\{g(u+v)-g(u)-g(v)\right\}
\end{align}
f(u,v) &= \frac{1}{2}\left\{f(u+v,u+v)-f(u,u)-f(v,v)\right\}\\[0.7em]
&= \frac{1}{2}\left\{g(u+v)-g(u)-g(v)\right\}
\end{align}
が得られます。これにより，$f$は$g$から一意的に定めることができます。続いて，$g$が二次形式である場合を考えます。$f$はエルミート双一次形式でもありますので，
\begin{align}
f(u+v,u+v) &= f(u,u)+f(u,v)+f(v,u)+f(v,v)\\[0.7em]
&= f(u,u)+f(u,v)+\overline{f(u,v)}+f(v,v)\\[0.7em]
&= f(u,u)+2\Re f(u,v)+f(v,v)
\end{align}
f(u+v,u+v) &= f(u,u)+f(u,v)+f(v,u)+f(v,v)\\[0.7em]
&= f(u,u)+f(u,v)+\overline{f(u,v)}+f(v,v)\\[0.7em]
&= f(u,u)+2\Re f(u,v)+f(v,v)
\end{align}
が成り立ちます。ただし，$\Re f$は$f$の実部を表します。これを変形すると，
\begin{align}
\Re f(u,v) &= \frac{1}{2}\left\{f(u+v,u+v)-f(u,u)-f(v,v)\right\}\\[0.7em]
&= \frac{1}{2}\left\{g(u+v)-g(u)-g(v)\right\}
\end{align}
\Re f(u,v) &= \frac{1}{2}\left\{f(u+v,u+v)-f(u,u)-f(v,v)\right\}\\[0.7em]
&= \frac{1}{2}\left\{g(u+v)-g(u)-g(v)\right\}
\end{align}
が得られます。これにより，$f$の実部は$g$から一意的に定めることができることが分かりました。続いて，$f$の虚部を$g$から一意的に定めることができることを示します。いま，
\begin{align}
f(iu,v) = \oi f(u,v) = -if(u,v)
\end{align}
f(iu,v) = \oi f(u,v) = -if(u,v)
\end{align}
となります。$f(u,v)$の$-i$倍の実部は$f(u,v)$の虚部になりますので，
\begin{align}
\Re f(iu,v) &= \Im f(u,v)
\end{align}
\Re f(iu,v) &= \Im f(u,v)
\end{align}
が成り立ちます。したがって，$f$の虚部は
\begin{align}
\Im f(u,v) &= \frac{1}{2}\left\{g(iu+v)-g(iu)-g(v)\right\}
\end{align}
\Im f(u,v) &= \frac{1}{2}\left\{g(iu+v)-g(iu)-g(v)\right\}
\end{align}
により一意的に定めることができます。
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