【徹底解説】可換な合成写像に共通な固有ベクトル

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可換な合成写像に共通な固有ベクトル

テプリッツの定理の証明に利用される定理です。

証明

複素ベクトル空間では任意の線型変換は固有値をもつので，$F$の一つの固有値を$\alpha$とし，それに対する$F$の固有空間を$W$とします。$FG=GF$であるとき，$v\in W$に対して

が成り立ちます。$W$が$F$の固有空間であることに注意すると，$G(v)\in W$となることが分かります。すなわち，$v\in W$に対して$G(v)\in W$が成り立つので，$W$は$G$に関して不変です。ゆえに，$G$の$W$への縮小が考えられ，かつ固有空間の定義より$W$は$\{0\}$ではありませんので，$W$の中に固有ベクトル$w_0$が存在します。$F$の固有空間が$W$であることから，$W$の固有ベクトルは$F$にも属します。したがって，$FG=GF$ならば，$V$の中に$F,G$に共通した固有ベクトル$w_0$が存在することが示されました。