【徹底解説】正則行列と階数

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

正則行列と階数

併せて正則と六つの同等な条件もおさえておきましょう。

証明

$A$が正則であるとき，正則と六つの同等な条件より，$\det(A)\neq 0$となります。いま，一次従属な列ベクトルから構成される行列の行列式は$0$になることの対偶をとることにより，$\det(A)\neq 0$ならば$A$の列ベクトルは一次独立になります。行列の階数は$A$の列ベクトルのうち一次独立な列ベクトルの最大個数でしたから，$A$の階数は$n$になります。