本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
余因子展開の性質
$n$次正方行列$A$の$(i,j)$成分を$a_{ij}$とし，その$(i,j)$余因子を$\Delta_{ij}$とする。$(i,k)$と$(j,l)$をそれぞれ$n$以下の正の整数とするとき，以下が成り立つ。
\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\Delta_{kj}&=
\begin{cases}
\det (A) & (i=k) \\[0.7em]
0 & (i\neq k)
\end{cases}\label{1}\\[0.7em]
\sum_{i=1}^{n} a_{ij}\Delta_{il}&=
\begin{cases}
\det (A) & (j=l) \\[0.7em]
0 & (j\neq l)
\end{cases}\label{2}
\end{align}
第$i$行に関する余因子展開で余因子の行インデックスが$i$でないときは$0$になるという性質です。同様に，第$j$列に関する余因子展開で余因子の列インデックスが$j$でないときは$0$になります。
証明
式($\ref{1}$)から示します。$i=k$は第$i$行に関する余因子展開そのものですので，既に示されています。$i\neq k$のときは，$A$の第$k$行を第$i$行で置き換えた行列を$A^{\prime}$と置くと，列ベクトルが一次従属となるため，行列式の性質より$\det (A^{\prime})=0$となります。一方，第$k$行に関する余因子展開より，
\det (A^{\prime}) &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{k+j}a_{kj}^{\prime}\det (A_{kj}^{\prime}) \label{余因子展開}
\end{align}
が成り立ちます。ただし，$a_{ij}^{\prime}$は$A^{\prime}$の$(i,j)$要素を表し，$A_{kj}^{\prime}$は$A^{\prime}$の第$k$行と第$j$行をとり除いた行列を表します。このとき，$A^{\prime}$は$A$の第$k$行を第$i$行で置き換えた行列でしたので，$a_{kj}^{\prime}=a_{ij}$，$A_{kj}^{\prime}=A_{kj}$となります。これと$\det (A^{\prime})=0$を式($\ref{余因子展開}$)に代入すると，
\sum_{j=1}^{n} (-1)^{k+j}a_{kj}^{\prime}\det (A_{kj}^{\prime})
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{k+j}a_{ij}\det (A_{kj}) \\[0.7em]
&= \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\Delta_{kj} \\[0.7em]
&= 0
\end{align}
が得られます。式($\ref{2}$)に関しても同様の手順を利用して示すことができます。
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