本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
行列式の余因子展開
$n$次正方行列$A$の$(i,j)$成分を$a_{ij}$とする。$A$の第$i$列と第$j$行をとり除いた$n-1$次の行列を$A_{ij}$とし，$(i,j)$余因子を$\Delta_{ij}$と表すとき，以下が成り立つ。
\begin{alignat}{3}
\det (A) &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}a_{ij}\det (A_{ij}) &&= \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\Delta_{ij}\label{行}\\[0.7em]
\det (A) &= \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}a_{ij}\det (A_{ij}) &&= \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\Delta_{ij}\label{列}
\end{alignat}
\det (A) &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}a_{ij}\det (A_{ij}) &&= \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\Delta_{ij}\label{行}\\[0.7em]
\det (A) &= \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}a_{ij}\det (A_{ij}) &&= \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\Delta_{ij}\label{列}
\end{alignat}
ただし，式(\ref{行})の$i$と式(\ref{列})の$j$はそれぞれ任意に固定された一つの整数とする。
式(\ref{行})は第$i$行に関する余因子展開，式(\ref{列})を第$j$列に関する余因子展開とよばれます。
証明
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