本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
行列式の性質＜列の入れ替え＞
$n$次正方行列$A$の行列式$\det (A)$は以下の性質をもつ。
- 第$i$列と第$j$列を入れ替えた行列$A^{\prime}$に対し$\det (A^{\prime})=-\det (A)$
行列式の性質一覧はこちらのページより確認できます。
証明
行列式写像の条件を利用します。$A=(\va_{1},\ldots,\va_{n})$の第$i$列と第$j$列をどちらも$\va_{i}+\va_{j}$に置き換えると，行列式写像の交代性より，
\begin{align}
\det(\va_{1},\ldots,\va_{i}+\va_{j},\ldots,\va_{i}+\va_{j}\ldots,\va_{n}) &= 0 \label{1}
\end{align}
\det(\va_{1},\ldots,\va_{i}+\va_{j},\ldots,\va_{i}+\va_{j}\ldots,\va_{n}) &= 0 \label{1}
\end{align}
となります。さらに，式($\ref{1}$)の左辺は行列式写像の$n$重線形性より，
\begin{align}
&\det(\va_{1},\ldots,\va_{i},\ldots,\va_{i},\ldots,\va_{n})\\[0.7em]
+&\det(\va_{1},\ldots,\va_{i},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{n})\\[0.7em]
+&\det(\va_{1},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{i},\ldots,\va_{n})\\[0.7em]
+&\det(\va_{1},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{n}) \label{2}
\end{align}
&\det(\va_{1},\ldots,\va_{i},\ldots,\va_{i},\ldots,\va_{n})\\[0.7em]
+&\det(\va_{1},\ldots,\va_{i},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{n})\\[0.7em]
+&\det(\va_{1},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{i},\ldots,\va_{n})\\[0.7em]
+&\det(\va_{1},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{n}) \label{2}
\end{align}
となりますが，第一項目と第二項目は行列式写像の交代性より$0$となります。したがって，式($\ref{1}$)に式($\ref{2}$)を代入すると
\begin{align}
\det (A)+\det (A^{\prime}) &= 0
\end{align}
\det (A)+\det (A^{\prime}) &= 0
\end{align}
が得られます。
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