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目次
F分布とt分布
$X$が自由度$q$のt分布に従うとき，$X^2$は自由度$(1,q)$のF分布に従う。
証明
$Y=X^2$には逆変換が存在しないため，変数変換の定理を適用できません。そこで，カイ二乗分布の導出と同じように，累積分布関数を用いて$Y$が従う確率密度関数$g$を導出しましょう。ただし，t分布の確率密度関数を$f$，原始関数の一つを$F$と書きます。
\begin{align}
g(y) &= \frac{d}{dy} P(X^2\leq y) \\[0.7em]
&= \frac{d}{dy} P(-\sqrt{y}\leq X \leq \sqrt{y}) \\[0.7em]
&= \frac{d}{dy} \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x)dx \\[0.7em]
&= \frac{d}{dy} \left\{ F(\sqrt{y}) - F(-\sqrt{y}) \right\} \\[0.7em]
&= \frac{1}{2\sqrt{y}}f(\sqrt{y}) + \frac{1}{2\sqrt{y}}f(-\sqrt{y})\label{1} \\[0.7em]
&= \frac{1}{2\sqrt{y}}f(\sqrt{y}) + \frac{1}{2\sqrt{y}}f(\sqrt{y}) \label{2} \\[0.7em]
&= \frac{1}{\sqrt{y}}f(\sqrt{y})
\end{align}
g(y) &= \frac{d}{dy} P(X^2\leq y) \\[0.7em]
&= \frac{d}{dy} P(-\sqrt{y}\leq X \leq \sqrt{y}) \\[0.7em]
&= \frac{d}{dy} \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x)dx \\[0.7em]
&= \frac{d}{dy} \left\{ F(\sqrt{y}) - F(-\sqrt{y}) \right\} \\[0.7em]
&= \frac{1}{2\sqrt{y}}f(\sqrt{y}) + \frac{1}{2\sqrt{y}}f(-\sqrt{y})\label{1} \\[0.7em]
&= \frac{1}{2\sqrt{y}}f(\sqrt{y}) + \frac{1}{2\sqrt{y}}f(\sqrt{y}) \label{2} \\[0.7em]
&= \frac{1}{\sqrt{y}}f(\sqrt{y})
\end{align}
ただし，式($\ref{1}$)から式($\ref{2}$)はt分布が奇関数であることを利用しました。さて，$f$に自由度$q$のt分布の確率密度関数を代入しましょう。
\begin{align}
g(y) &= \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{1}{\sqrt{q}B(q/2,1/2)}\left(1+\frac{y}{q}\right)^{-(q+1)/2} \label{3}\\[0.7em]
&= \frac{q^{q/2}}{B(1/2,q/2)}\frac{y^{-1/2}}{(y+q)^{(q+1)/2}} \label{4} \\[0.7em]
&= \frac{1^{1/2}\cdot q^{q/2}}{B(1/2,q/2)}\frac{y^{1/2-1}}{(y+q)^{(1+q)/2}} \label{5}
\end{align}
g(y) &= \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{1}{\sqrt{q}B(q/2,1/2)}\left(1+\frac{y}{q}\right)^{-(q+1)/2} \label{3}\\[0.7em]
&= \frac{q^{q/2}}{B(1/2,q/2)}\frac{y^{-1/2}}{(y+q)^{(q+1)/2}} \label{4} \\[0.7em]
&= \frac{1^{1/2}\cdot q^{q/2}}{B(1/2,q/2)}\frac{y^{1/2-1}}{(y+q)^{(1+q)/2}} \label{5}
\end{align}
ただし，式($\ref{3}$)から式($\ref{4}$)はベータ関数の対称性を利用しました。式($\ref{5}$)は自由度$(1, q)$のF分布の確率密度関数を表していますので，$Y$が自由度$(1, q)$のF分布に従うことを示せました。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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