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目次
t分布とコーシー分布の関係性
自由度$1$のt分布はコーシー分布である。
証明
自由度$1$のt分布$t(1)$に従う確率変数を$X$とします。t分布の確率密度関数は，
\begin{align}
f_{X}(x) &= \frac{1}{\sqrt{1}B(1/2, 1/2)}\left( 1+\frac{x^2}{1} \right)^{-(1+1)/2} \\[0.7em]
&= \frac{\Gamma(1)}{\Gamma(1/2)\Gamma(1/2)}\frac{1}{1+x^2} \\[0.7em]
&= \frac{1}{\sqrt{\pi}\sqrt{\pi}}\frac{1}{1+x^2} \\[0.7em]
&= \frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2}
\end{align}
f_{X}(x) &= \frac{1}{\sqrt{1}B(1/2, 1/2)}\left( 1+\frac{x^2}{1} \right)^{-(1+1)/2} \\[0.7em]
&= \frac{\Gamma(1)}{\Gamma(1/2)\Gamma(1/2)}\frac{1}{1+x^2} \\[0.7em]
&= \frac{1}{\sqrt{\pi}\sqrt{\pi}}\frac{1}{1+x^2} \\[0.7em]
&= \frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2}
\end{align}
これはコーシー分布の確率密度関数と等しいため，$t(1)$がコーシー分布と等しいことが示されました。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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