【数検1級対策】積分区間が[0,π/2]でないウォリスの公式

本記事では,数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

積分区間が$[0,\pi/2]$でないウォリスの公式

ウォリスの公式では積分区間は$[0,\pi/2]$であるが,問題によってはこれ以外の積分区間で$\sin^{n}$や$\cos^{n}$の定積分が問われることがある。この場合は,$\sin^{n}$と$\cos^{n}$の対称性を利用して積分区間を$[0,\pi/2]$に直せばよい。

$\sin^{n}$と$\cos^{n}$の符号は$\sin$と$\cos$の符号と一致します。$0$になる地点は一緒でグラフの尖り方が変わるだけです。

例題

次の積分を求めよ

\begin{align}
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta~d\theta,\quad
\int_{0}^{2\pi}\cos^{4}\theta~d\theta
\end{align}

$\sin^{n}$の符号は$\sin$の符号と一致することに注意すると,

\begin{align}
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta~d\theta
&= 2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta~d\theta
= 2\cdot\frac{2}{3} = \frac{4}{3}
\end{align}

が得られます。同様に,

\begin{align}
\int_{0}^{2\pi}\cos^{4}\theta~d\theta
&= 4\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta~d\theta
= 4\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}
= \frac{3}{4}\pi
\end{align}

が得られます。

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