本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
固有値に関する便利なテクニック
- $A$の固有値を$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}$とするとき，固有値の和は次で表される
-
\begin{align}
\lambda_{1} + \lambda_{2} + \cdots + \lambda_{n} &= \Tr(A)
\end{align} - $A$の固有値を$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}$とするとき，固有値の積は次で表される
-
\begin{align}
\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{n} &= \det(A)
\end{align} - 固有値の対称式に関する問題のアプローチ
-
固有多項式の解と係数の関係を利用する
補足
固有値の和に関するテクニックの証明
$A$のジョルダン標準形を$J$を用いて示すことができます。任意の正方行列は正則行列$P$により$P^{-1}AP{=}J$とできますが，$J$の対角成分には固有値が並ぶこと，およびトレースの性質$\Tr(ABC){=}\Tr(BCA)$に注意すると，
\begin{align}
\Tr(J) = \Tr(P^{-1}AP) = \Tr(APP^{-1}) = \Tr(A) = \lambda_{1} + \cdots + \lambda_{n}
\end{align}
\Tr(J) = \Tr(P^{-1}AP) = \Tr(APP^{-1}) = \Tr(A) = \lambda_{1} + \cdots + \lambda_{n}
\end{align}
が導かれます。
固有値の積に関するテクニックの証明
固有多項式
\begin{align}
\det(xI_{n}-A) &= (x-\lambda_{1})\cdots(x-\lambda_{n})
\end{align}
\det(xI_{n}-A) &= (x-\lambda_{1})\cdots(x-\lambda_{n})
\end{align}
において，$x=0$を代入して導かれます。
固有値の対称式に関するアプローチについて
解と係数の関係の利用については，例えば固有多項式が$\lambda^{3}+\lambda+24$であるとき，
\begin{align}
\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3} = 0,\quad
\lambda_{1}\lambda_{2}+\lambda_{2}\lambda_{3}+\lambda_{3}\lambda_{1} = 1,\quad
\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3} = -24
\end{align}
\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3} = 0,\quad
\lambda_{1}\lambda_{2}+\lambda_{2}\lambda_{3}+\lambda_{3}\lambda_{1} = 1,\quad
\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3} = -24
\end{align}
が利用できます。
特に$\lambda_{1}\lambda_{2}+\lambda_{2}\lambda_{3}+\lambda_{3}\lambda_{1}$が必要な場合に重宝します。
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