本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
固有値に関する便利なテクニック
- $A$の固有値を$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}$とするとき，固有値の和は次で表される
-
\begin{align}
\lambda_{1} + \lambda_{2} + \cdots + \lambda_{n} &= \Tr(A)
\end{align} - $A$の固有値を$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}$とするとき，固有値の積は次で表される
-
\begin{align}
\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{n} &= \det(A)
\end{align} - 固有値の対称式に関する問題のアプローチ
-
固有多項式の解と係数の関係を利用する
補足
固有値の和に関するテクニックの証明
$A$のジョルダン標準形を$J$を用いて示すことができます。任意の正方行列は正則行列$P$により$P^{-1}AP{=}J$とできますが，$J$の対角成分には固有値が並ぶこと，およびトレースの性質$\Tr(ABC){=}\Tr(BCA)$に注意すると，
\Tr(J) = \Tr(P^{-1}AP) = \Tr(APP^{-1}) = \Tr(A) = \lambda_{1} + \cdots + \lambda_{n}
\end{align}
が導かれます。
固有値の積に関するテクニックの証明
固有多項式
\det(xI_{n}-A) &= (x-\lambda_{1})\cdots(x-\lambda_{n})
\end{align}
において，$x=0$を代入して導かれます。
例題
A=
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0\\
1 & 3 & -1\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
の固有値を$\alpha,\beta,\gamma$とするとき，「$\alpha+\beta+\gamma$」「$\alpha\beta\gamma$」「$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$」を求めよ。
解説
固有値の和に関する性質より$\alpha+\beta+\gamma=6$となります。同様に，$A$の行列式はサラスの公式より
\det(A)=
\begin{vmatrix}
2 & -1 & 0\\
1 & 3 & -1\\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}
=9
\end{align}
となるため，固有値の積に関する性質より$\alpha\beta\gamma=9$となります。また，$A$の固有多項式は
\lambda^{3}-6\lambda^{2}+13\lambda-9=0
\end{align}
となるため，解と係数の関係より$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=13$となります。
補足
固有値の和・積に関する性質は，$n$次固有方程式における$\lambda^{n-1}$と定数項と捉えることもできます。すなわち，固有値を$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}とおくと，$固有方程式は
&(\lambda-\lambda_{1})(\lambda-\lambda_{2})\cdots (\lambda-\lambda_{n})\notag\\[0.7em]
\quad&= \lambda^{n}-(\lambda_{1}+\cdots+\lambda_{n})\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^{n}(\lambda_{1}\cdots\lambda_{n})
\end{align}
となるため，固有値の和は$\lambda^{n-1}$の係数，固有値の積は定数項を見れば分かります。具体的には，
\lambda^{3}-6\lambda^{2}+13\lambda-9=0
\end{align}
において，固有値の和は$6$，固有値の積は$9$と分かります。ただし，固有値の和・積については上述の通り固有多項式を計算するまでもなく行列のトレースと行列式から分かりますので，求める対象が固有値の和・積のみであれば，わざわざ固有多項式を経由する必要もないでしょう。
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