本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
三重積分と極座標変換
空間座標系における極座標変換は，$0\leq r,0\leq\theta\leq\pi,0\leq\varphi\leq2\pi$に対し
\begin{align}
x = r\sin\theta\cos\varphi,\quad
y = r\sin\theta\sin\varphi,\quad
z = r\cos\theta
\end{align}
x = r\sin\theta\cos\varphi,\quad
y = r\sin\theta\sin\varphi,\quad
z = r\cos\theta
\end{align}
と表され，ヤコビアンは$r^{2}\sin\theta$となる。
図解すると三角関数の定義より導かれます。ヤコビアンの計算は割愛します。
具体例
次の三重積分$I$の値を求めよ。ただし，$a\geq 0$とする。
\begin{align}
\iiint_{D}x^{2}~dxdydz,\quad D:x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq a^{2}
\end{align}
\iiint_{D}x^{2}~dxdydz,\quad D:x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq a^{2}
\end{align}
解答
空間座標系の極座標変換により$D$は
\begin{align}
M: r^{2}\leq a^{2},0\leq\theta\leq\pi,0\leq\varphi\leq2\pi
\end{align}
M: r^{2}\leq a^{2},0\leq\theta\leq\pi,0\leq\varphi\leq2\pi
\end{align}
に移されるため，ウォリスの公式より
\begin{align}
I
&= \iiint_{M} r^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi\cdot r^{2}\sin\theta~ drd\theta d\varphi\\[0.7em]
&= \int_{0}^{a}r^{2}dr\cdot \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta~d\theta\cdot\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi~d\varphi\\[0.7em]
&= \int_{0}^{a}r^{4}dr\cdot 2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta~d\theta\cdot 4\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\varphi~d\varphi\\[0.7em]
&= \left[\frac{1}{5}r^{5}\right]_{0}^{a}\cdot 2\cdot\frac{2}{3}\cdot 4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}
= \frac{4\pi}{15}a^{5}
\end{align}
I
&= \iiint_{M} r^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi\cdot r^{2}\sin\theta~ drd\theta d\varphi\\[0.7em]
&= \int_{0}^{a}r^{2}dr\cdot \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta~d\theta\cdot\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi~d\varphi\\[0.7em]
&= \int_{0}^{a}r^{4}dr\cdot 2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta~d\theta\cdot 4\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\varphi~d\varphi\\[0.7em]
&= \left[\frac{1}{5}r^{5}\right]_{0}^{a}\cdot 2\cdot\frac{2}{3}\cdot 4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}
= \frac{4\pi}{15}a^{5}
\end{align}
が得られます。
コメント