本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
接平面と法線の求め方
曲面$f(x,y,z)=0$上の点$(x_{0},y_{0},z_{0})$における接平面の方程式は
\begin{align}
f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})
{+}f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})
{+}f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})
= 0
\end{align}
f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})
{+}f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})
{+}f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})
= 0
\end{align}
と表される。ゆえに，法線の方程式は
\begin{align}
\frac{x-x_{0}}{f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})}
=\frac{y-y_{0}}{f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})}
=\frac{z-z_{0}}{f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})}
\end{align}
\frac{x-x_{0}}{f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})}
=\frac{y-y_{0}}{f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})}
=\frac{z-z_{0}}{f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})}
\end{align}
と表される。
具体例
下記の楕円面の点$(x_{0},y_{0},z_{0})$における接平面の方程式および法線の方程式を求めよ。
\begin{align}
f(x,y,z) &= \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} -1 = 0
\end{align}
f(x,y,z) &= \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} -1 = 0
\end{align}
ただし，$x_{0}y_{0}z_{0}\neq 0$とする。
解答
$f$の一階微分は
\begin{align}
f_{x} = \frac{2x}{a^{2}},\quad
f_{y} = \frac{2y}{b^{2}},\quad
f_{z} = \frac{2z}{c^{2}}
\end{align}
f_{x} = \frac{2x}{a^{2}},\quad
f_{y} = \frac{2y}{b^{2}},\quad
f_{z} = \frac{2z}{c^{2}}
\end{align}
となるため，接平面の方程式は
\begin{align}
\frac{2x_{0}}{a^{2}}(x-x_{0})
+\frac{2y_{0}}{b^{2}}(y-y_{0})
+\frac{2z_{0}}{c^{2}}(z-z_{0})
&= 0
\end{align}
\frac{2x_{0}}{a^{2}}(x-x_{0})
+\frac{2y_{0}}{b^{2}}(y-y_{0})
+\frac{2z_{0}}{c^{2}}(z-z_{0})
&= 0
\end{align}
となります。これは，$f(x_{0},y_{0},z_{0})=1$を利用して変形すると
\begin{align}
\frac{x_{0}}{a^{2}}x
+\frac{y_{0}}{b^{2}}y
+\frac{z_{0}}{c^{2}}z
&= \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}
+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}
+\frac{z_{0}^{2}}{c^{2}}
= 1
\end{align}
\frac{x_{0}}{a^{2}}x
+\frac{y_{0}}{b^{2}}y
+\frac{z_{0}}{c^{2}}z
&= \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}
+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}
+\frac{z_{0}^{2}}{c^{2}}
= 1
\end{align}
と表せます。同様に，法線の方程式は
\begin{align}
\frac{a^{2}(x-x_{0})}{x_{0}}
=\frac{b^{2}(y-y_{0})}{y_{0}}
=\frac{c^{2}(z-z_{0})}{z_{0}}
\end{align}
\frac{a^{2}(x-x_{0})}{x_{0}}
=\frac{b^{2}(y-y_{0})}{y_{0}}
=\frac{c^{2}(z-z_{0})}{z_{0}}
\end{align}
となります。
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