本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
対称式の扱い
一般に，全ての対称式は基本対称式で表すことができる。その上で，下記に挙げるような対称式の基本的な扱いを押さえておくとよい。
- $n$乗の和
-
\begin{align}
x^{n}+y^{n} &= (x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2})\label{n乗}
\end{align} - 3変数の2乗和
-
\begin{align}
x^{2}+y^{2}+z^{2} &= (x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)
\end{align} - 3変数の3乗和
-
\begin{align}
x^{3}+y^{3}+z^{3} &= (x+y+z)^{3}-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz\\[0.7em]
&= (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)+3xyz
\end{align}
数学検定1級では対称式が狙われやすいです。扱いが慣れていないと得点することは難しいトピックでしょう。全ての対称式は基本対称式で表されることの証明は割愛しますが，対称式の典型的な扱いについては押さえておいてください。
例題
$x+y=4$，$xy=3$のとき，$x^{4}+y^{4}$を求めよ。
式($\ref{n乗}$)を次々と用いればよい。$n=2$のとき，
\begin{align}
x^{2}+y^{2} &= (x+y)^{2}-2xy = 16-6 = 10
\end{align}
x^{2}+y^{2} &= (x+y)^{2}-2xy = 16-6 = 10
\end{align}
となる。$n=3$のとき，
\begin{align}
x^{3}+y^{3} &= (x+y)(x^{2}+y^{2})-xy(x+y) = 40-12 = 28
\end{align}
x^{3}+y^{3} &= (x+y)(x^{2}+y^{2})-xy(x+y) = 40-12 = 28
\end{align}
となる。以上より，$n=4$のとき
\begin{align}
x^{4}+y^{4} &= (x+y)(x^{3}+y^{3})-xy(x^{2}+y^{2}) = 112-30 = 82
\end{align}
x^{4}+y^{4} &= (x+y)(x^{3}+y^{3})-xy(x^{2}+y^{2}) = 112-30 = 82
\end{align}
が得られる。
補足
下記の計算もシンプルです。
\begin{align}
x^{4}+y^{4}
&= (x^{2}+y^{2})^{2}-2(xy)^{2}\\[0.7em]
&= \left\{(x+y)^{2}-2xy\right\}^{2}-2(xy)^{2}
= (16-6)^{2}-18 = 82
\end{align}
x^{4}+y^{4}
&= (x^{2}+y^{2})^{2}-2(xy)^{2}\\[0.7em]
&= \left\{(x+y)^{2}-2xy\right\}^{2}-2(xy)^{2}
= (16-6)^{2}-18 = 82
\end{align}
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