本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
二次形式の標準化
二次形式の係数行列は対称行列であるため適当な直交行列によって対角化可能である。このとき，二次形式は
\begin{align}
\lambda_{1}y_{1}^{2}+\cdots+\lambda_{r}y_{r}^{2}
\end{align}
\lambda_{1}y_{1}^{2}+\cdots+\lambda_{r}y_{r}^{2}
\end{align}
と表され，この形を二次形式の標準形という。
二次形式の標準化にはラグランジュの方法もありますが，行列の対角化を用いた方が見通しがよく二次形式の符号の判断でも利用することができるため，オススメです。
具体例
次の二次形式を標準化せよ。
- $f(x_{1},x_{2})=4x_{1}^{2}+6x_{1}x_{2}+4x_{2}^{2}$
- $f(x_{1},x_{2})=3\overline{x}_{1}^{2}+(1+2i)\overline{x}_{1}x_{2}+(1-2i)\overline{x}_{2}x_{1}-\overline{x}_{2}x_{2}$
解答
例1について
次の二次形式を標準化せよ。
\begin{align}
f(x_{1},x_{2}) &= 4x_{1}^{2}+6x_{1}x_{2}+4x_{2}^{2}
\end{align}
f(x_{1},x_{2}) &= 4x_{1}^{2}+6x_{1}x_{2}+4x_{2}^{2}
\end{align}
与えられた二次形式を行列で表すと
\begin{align}
(x_{1},x_{2})
\begin{pmatrix}
4 & 3\\
3 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}
&\equiv \vx^{T}A\vx
\end{align}
(x_{1},x_{2})
\begin{pmatrix}
4 & 3\\
3 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}
&\equiv \vx^{T}A\vx
\end{align}
となります。$A$は直交行列
\begin{align}
U &= \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-1 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
U &= \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-1 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
により
\begin{align}
U^{T}AU &=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 7
\end{pmatrix}
\equiv \Lambda
\end{align}
U^{T}AU &=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 7
\end{pmatrix}
\equiv \Lambda
\end{align}
と対角化されます。よって，$\vx=U\vy$とおくと$(U\vy)^{T}A(U\vy)=\vy^{T}(U^{T}AU)\vy=\vy^{T}\Lambda\vy$となり，
\begin{align}
\vy\Lambda\vy &= y_{1}^{2}+7y_{2}^{2}
\end{align}
\vy\Lambda\vy &= y_{1}^{2}+7y_{2}^{2}
\end{align}
と標準化されます。
対角化の手続きは省略しました。
例2について
次の二次形式を標準化せよ。
\begin{align}
f(x_{1},x_{2})=3\overline{x}_{1}^{2}+(1+2i)\overline{x}_{1}x_{2}+(1-2i)\overline{x}_{2}x_{1}-\overline{x}_{2}x_{2}
\end{align}
f(x_{1},x_{2})=3\overline{x}_{1}^{2}+(1+2i)\overline{x}_{1}x_{2}+(1-2i)\overline{x}_{2}x_{1}-\overline{x}_{2}x_{2}
\end{align}
与えられた二次形式を行列で表すと
\begin{align}
(\overline{x}_{1},\overline{x}_{2})
\begin{pmatrix}
3 & 1+2i\\
1-2i & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}
&\equiv \vx^{\ast}A\vx
\end{align}
(\overline{x}_{1},\overline{x}_{2})
\begin{pmatrix}
3 & 1+2i\\
1-2i & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}
&\equiv \vx^{\ast}A\vx
\end{align}
となります。$A$はエルミート行列
\begin{align}
U &= \frac{1}{\sqrt{6}}
\begin{pmatrix}
1 & 1+2i\\
-1+2i & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
U &= \frac{1}{\sqrt{6}}
\begin{pmatrix}
1 & 1+2i\\
-1+2i & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
により
\begin{align}
U^{\ast}AU &=
\begin{pmatrix}
-2 & 0\\
0 & 4
\end{pmatrix}
\equiv \Lambda
\end{align}
U^{\ast}AU &=
\begin{pmatrix}
-2 & 0\\
0 & 4
\end{pmatrix}
\equiv \Lambda
\end{align}
と対角化されます。よって，$\vx=U\vy$とおくと$(U\vy)^{\ast}A(U\vy)=\vy^{\ast}(U^{\ast}AU)\vy=\vy^{T}\Lambda\vy$となり，
\begin{align}
\vy^{\ast}\Lambda\vy &= -2\overline{y}_{1}y_{1}+4\overline{y}_{2}y_{2}
\end{align}
\vy^{\ast}\Lambda\vy &= -2\overline{y}_{1}y_{1}+4\overline{y}_{2}y_{2}
\end{align}
と標準化されます。
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