本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
相反方程式
係数が左右対称な方程式のことを相反方程式という。例えば，
\begin{align}
x^{4}+3x^{2}+1=0
\end{align}
x^{4}+3x^{2}+1=0
\end{align}
は係数が$(1,0,3,0,1)$となるため相反方程式である。
性質
相反方程式の解法は，最高次数が偶数と奇数のときで場合分けされます。いずれも，係数が対象であることにより
\begin{align}
t = x+\frac{1}{x}\label{置換}
\end{align}
t = x+\frac{1}{x}\label{置換}
\end{align}
という置換により，一気に次数を下げることができる点がポイントです。
最高次数が偶数のとき
次の方程式を解きなさい。
\begin{align}
x^{4}+x^{3}+2x^{2}+x+1=0\label{例題1}
\end{align}
x^{4}+x^{3}+2x^{2}+x+1=0\label{例題1}
\end{align}
$x=0$は解ではないことから，両辺を$x^{2}$で割って整理すると
\begin{align}
x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+x+\frac{1}{x}+2=0
\end{align}
x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+x+\frac{1}{x}+2=0
\end{align}
となる。式($\ref{置換}$)の置換を行うことにより，
\begin{align}
t^{2}-2+t+2=0
\end{align}
t^{2}-2+t+2=0
\end{align}
となるため$t=0,1$が得られます。$t=0$および$t=1$を解くことにより，求める答えは
\begin{align}
x=\pm i,\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}
\end{align}
x=\pm i,\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}
\end{align}
となります。
最高次数が奇数のとき
次の方程式を解きなさい。
\begin{align}
x^{5}+2x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+2x+1=0
\end{align}
x^{5}+2x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+2x+1=0
\end{align}
$x=-1$が解の$1$つであるから与式は$(x+1)$を因数に持ちます。そこで筆算で割り算を実行すると，
\begin{align}
(x+1)(x^{4}+x^{3}+2x^{2}+x+1) = 0
\end{align}
(x+1)(x^{4}+x^{3}+2x^{2}+x+1) = 0
\end{align}
が得られます。右側の因数が式($\ref{例題1}$)と同じ形になっていることから，求める答えは
\begin{align}
x=-1, \pm i,\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}
\end{align}
x=-1, \pm i,\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}
\end{align}
となります。
最高次数が奇数の相反方程式は，係数の対称性から必ず$x=-1$を解に持ちます。
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