本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
実正規行列の標準化
実正規行列$A$が下記の固有値をもち，
- 実数$\lambda_{j}\;(1\leq j\leq r)$（重複度はそれぞれ$m_{j}$）
- 複素数$a_{k}\pm b_{k}i\;(1\leq k\leq s)$（重複度はそれぞれ$m_{k}$）
固有空間$W(\lambda_{j}),W(a_{k}+b_{k}i)$の正規直交基底をそれぞれ$\left<\vu_{j,1},\ldots,\vu_{j,m_{j}}\right>,\left<\vv_{k,1},\ldots,\vu_{k,m_{k}}\right>$とする。いま，
\vw_{k, 2l-1}=\frac{\vv_{k,l}+\overline{\vv_{k,l}}}{\sqrt{2}},\quad
\vw_{k, 2l}=\frac{\vv_{k,l}-\overline{\vv_{k,l}}}{\sqrt{2}i}\label{主題}
\end{align}
とおくと，
&\left<
\vu_{1,1},\ldots,\vu_{1,m_{1}},\ldots,\vu_{r,1},\ldots,\vu_{r,m_{r}},\right.\notag\\
&\left.\quad\quad\vw_{1,1},\ldots,\vw_{1,2n_{1}},\ldots,\vw_{s,1},\ldots,\vw_{s,2n_{s}}
\right>
\end{align}
は正規直交基底となり，標準化することができる。
標準化の形は具体例を通して感覚を掴みましょう。証明は割愛しますが，こちらも具体例から帰納的に理解することができるようになるはずです。
覚え方
「複素数の固有値に対応する固有ベクトルでは，実部と虚部をそれぞれ別々の基底で表現することにより標準化することができる」と噛み砕いて覚えましょう。$\vv$の実部成分と虚部成分を考えると
\begin{cases}
\displaystyle
\vw = \frac{\vv+\overline{\vv}}{\sqrt{2}}&(\text{実部成分})\\[0.7em]
\displaystyle
\vw = \frac{\vv-\overline{\vv}}{\sqrt{2}i}&(\text{虚部成分})
\end{cases}
という形が出現します。なお，分母が$2$ではなく$\sqrt{2}$になっているのは，今回はあくまでも正規直交基底を得ることが目的であり，実部・虚部を正確に抽出したい訳ではないからです。
実数の固有値はそのまま，複素数の固有値は実部を奇数インデックス，虚部を偶数インデックスに配置して「対角化っぽいこと」を行う操作が標準化に相当します。
具体例
次の実正規行列を標準化せよ。
A &=
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2\\
2 & 1 & 3\\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
$AA^{T}=A^{T}A$となるため$A$は正規行列です。
解答
固有方程式を計算すると
\begin{vmatrix}
1-\lambda & 3 & 2\\
2 & 1-\lambda & 3\\
3 & 2 & 1-\lambda
\end{vmatrix}
&= -(\lambda-6)(\lambda^{2}+3\lambda+3) = 0
\end{align}
となるため，$A$の固有値は$\lambda=6, (-3\pm\sqrt{3}i)/2$となります。$\lambda=6, (-3+\sqrt{3}i)/2$に関する単位固有ベクトルをそれぞれ$\vu,\vv$とおくと，$\lambda=(-3-\sqrt{3}i)/2$に関する単位固有ベクトルは$\overline{\vv}$となり，
\vu &= \frac{1}{\sqrt{3}}
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix},\quad
\vv = \frac{\sqrt{3}}{6}
\begin{pmatrix}
1 - \sqrt{3}i\\
1 + \sqrt{3}i\\
-2
\end{pmatrix},\quad
\overline{\vv} = \frac{\sqrt{3}}{6}
\begin{pmatrix}
1 + \sqrt{3}i\\
1 - \sqrt{3}i\\
-2
\end{pmatrix},
\end{align}
となります。
固有ベクトルの計算は省略しています。
ここで，式($\ref{主題}$)の通り$\vw_{1},\vw_{2}$を定めます。
\vw_{1} = \frac{\vv+\overline{\vv}}{\sqrt{2}}
= \frac{\sqrt{6}}{6}
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
-2
\end{pmatrix},\quad
\vw_{2} = \frac{\vv-\overline{\vv}}{\sqrt{2}i}
= \frac{\sqrt{2}}{2}
\begin{pmatrix}
-1\\
1\\
0
\end{pmatrix}
\end{align}
ここで，固有ベクトルの定義より$A\vu=6\vu$となりますが，$\vw_{1}$と$\vw_{2}$について左から$A$を掛けるとどのような結果になるのかを考えます。$\vw_{1}$に関しては
A\vw_{1}
&= A\left(\frac{\vv+\overline{\vv}}{\sqrt{2}}\right)
= \frac{A\vv+A\overline{\vv}}{\sqrt{2}}
= \frac{\lambda\vv+\overline{\lambda}\overline{\vv}}{\sqrt{2}}\label{point1}\\[0.7em]
&= \frac{1}{\sqrt{2}}\left\{
\frac{\lambda+\overline{\lambda}}{2}(\vv+\overline{\vv})
+\frac{\lambda-\overline{\lambda}}{2}(\vv-\overline{\vv})
\right\}\label{point2}\\[0.7em]
&=
-\frac{3}{2}\cdot\frac{\vv+\overline{\vv}}{\sqrt{2}}
+\frac{\sqrt{3}i}{2}\cdot\frac{\vv-\overline{\vv}}{\sqrt{2}}\\[0.7em]
&= -\frac{3}{2}\vw_{1} +\frac{\sqrt{3}i}{2}\vw_{1}i
= -\frac{3}{2}\vw_{1} -\frac{\sqrt{3}}{2}\vw_{1}
\end{align}
となります。
式($\ref{point1}$)から式($\ref{point2}$)への変形で$\vw_{1}$と$\vw_{2}$を出現させている点が一番のポイントです。この変形で綺麗に$\vw_{1}$と$\vw_{2}$の線形和が出現するように式($\ref{主題}$)を定めています。
同様に$\vw_{2}$に関しては
A\vw_{2}
&= A\left(\frac{\vv-\overline{\vv}}{\sqrt{2}}\right)
= \frac{A\vv-A\overline{\vv}}{\sqrt{2}}
= \frac{\lambda\vv-\overline{\lambda}\overline{\vv}}{\sqrt{2}}\\[0.7em]
&= \frac{1}{\sqrt{2}}\left\{
\frac{\lambda-\overline{\lambda}}{2}(\vv+\overline{\vv})
+\frac{\lambda+\overline{\lambda}}{2}(\vv-\overline{\vv})
\right\}\\[0.7em]
&=
\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\vv+\overline{\vv}}{\sqrt{2}}
-\frac{3}{2}\cdot\frac{\vv-\overline{\vv}}{\sqrt{2}}
= \frac{\sqrt{3}}{2}\vw_{1} - \frac{3}{2}\vw_{1}
\end{align}
となります。以上の結果より，
P &= (\vu, \vw_{1}, \vw_{2})
\begin{pmatrix}
\sqrt{2} & 1 & -\sqrt{3}\\
\sqrt{2} & 1 & \sqrt{3}\\
\sqrt{2} & -2 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}
とおくと，
AP &= A(\vu, \vw_{1}, \vw_{2})
= (A\vu, A\vw_{1}, A\vw_{2})\\[0.7em]
&= \left(6\vu, -\frac{3}{2}\vw_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2}\vw_{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\vw_{1}-\frac{3}{2}\vw_{2}\right)\\[0.7em]
&= (\vu, \vw_{1}, \vw_{2})
\begin{pmatrix}
6 & 0 & 0\\
0 & -3/2 & \sqrt{3}/2\\
0 & -\sqrt{3}/2 & -3/2\\
\end{pmatrix}
\end{align}
が得られるため，
P^{-1}AP &=
\begin{pmatrix}
6 & 0 & 0\\
0 & -3/2 & \sqrt{3}/2\\
0 & -\sqrt{3}/2 & -3/2\\
\end{pmatrix}
\end{align}
として$A$を標準化できます。
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