本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
二重積分を利用して求積する立体
$xy$平面の領域$D$を底面とする$z$軸に並行な母線からなる柱体の，$2$つの曲面
\begin{align}
z=f(x,y),\quad z=g(x,y)\quad (f(x,y)\geq g(x,y))
\end{align}
z=f(x,y),\quad z=g(x,y)\quad (f(x,y)\geq g(x,y))
\end{align}
に挟まれた部分の体積$V$は
\begin{align}
V &= \int\int_{D}\left\{f(x,y)-g(x,y)\right\}dxdy
\end{align}
V &= \int\int_{D}\left\{f(x,y)-g(x,y)\right\}dxdy
\end{align}
と表される。
具体例
曲面$z=x^{2}+y^{2}$と平面$z=x+1$で囲まれる部分の体積$V$を求めよ。
解答
$z=x+1$を$z=x^{2}+y^{2}$に代入すると，曲面の平面による断面の$xy$平面への射影が得られ，底面の領域はこの断面の内部となるため，
\begin{align}
D:\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}\leq \frac{5}{4}
\end{align}
D:\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}\leq \frac{5}{4}
\end{align}
となります。極座標変換
\begin{align}
x-\frac{1}{2}=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta
\end{align}
x-\frac{1}{2}=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta
\end{align}
を用いると，領域$D$は
\begin{align}
0\leq r\leq \frac{\sqrt{5}}{2},\quad 0\leq \theta\leq 2\pi
\end{align}
0\leq r\leq \frac{\sqrt{5}}{2},\quad 0\leq \theta\leq 2\pi
\end{align}
となり，ヤコビアンは
\begin{align}
\begin{vmatrix}
\partial x/\partial r & \partial x/\partial \theta\\
\partial y/\partial r & \partial y/\partial \theta
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{vmatrix} = r
\end{align}
\begin{vmatrix}
\partial x/\partial r & \partial x/\partial \theta\\
\partial y/\partial r & \partial y/\partial \theta
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{vmatrix} = r
\end{align}
となるため，求める体積$V$は
\begin{align}
V
&= \int\int_{D}\left\{x+1-(x^{2}+y^{2})\right\}dxdy\\[0.7em]
&= \int\int_{D}\left\{-\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-y^{2}+\frac{5}{4}\right\}dxdy\\[0.7em]
&= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{5}/2}\left(-r^{2}\cos^{2}\theta-r^{2}\sin^{2}\theta+\frac{5}{4}\right)r~drd\theta\\[0.7em]
&= \int_{0}^{2\pi}d\theta\cdot \int_{0}^{\sqrt{5}/2}\left(\frac{5}{4}r-r^{3}\right)dr\\[0.7em]
&= 2\pi\cdot \left[\frac{5}{8}r^{2}-\frac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{\sqrt{5}/2}
= 2\pi\cdot \left(\frac{25}{32}-\frac{25}{64}\right) = \frac{25}{32}\pi
\end{align}
V
&= \int\int_{D}\left\{x+1-(x^{2}+y^{2})\right\}dxdy\\[0.7em]
&= \int\int_{D}\left\{-\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-y^{2}+\frac{5}{4}\right\}dxdy\\[0.7em]
&= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{5}/2}\left(-r^{2}\cos^{2}\theta-r^{2}\sin^{2}\theta+\frac{5}{4}\right)r~drd\theta\\[0.7em]
&= \int_{0}^{2\pi}d\theta\cdot \int_{0}^{\sqrt{5}/2}\left(\frac{5}{4}r-r^{3}\right)dr\\[0.7em]
&= 2\pi\cdot \left[\frac{5}{8}r^{2}-\frac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{\sqrt{5}/2}
= 2\pi\cdot \left(\frac{25}{32}-\frac{25}{64}\right) = \frac{25}{32}\pi
\end{align}
となります。
コメント