本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
立体の求積方法
- 断面積による求積
-
断面積が$S(x)$で表される立体が$2$平面$x=a$および$x=b$で挟まれた部分の体積は，下記で求められる。
\begin{align}
V &= \int_{a}^{b}S(x)dx
\end{align} - 関数による求積
-
$y=f(x)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体が$2$平面$x=a$および$x=b$で挟まれた部分の体積は，下記で求められる。
\begin{align}
V &= \int_{a}^{b}\pi\left\{f(x)\right\}^{2}dx
\end{align} - 媒介変数による求積
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$x=f(t),y=g(t),\alpha\leq t\leq \beta$で表される曲線$C$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は，下記で求められる。
\begin{align}
V &= \int_{\alpha}^{\beta}\pi y^{2}\frac{dx}{dt}dt
\end{align}積分区間は関数グラフを書いて注意深く設定すること。
- バーム・クーヘン型による求積
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$a\leq x\leq b$で$y=f(x)$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は，下記で求められる。
\begin{align}
V &= \int_{a}^{b}2\pi xf(x)dx
\end{align}側面積の高さは$f(x)$，幅は半径$x$の直径となるため$2\pi f(x)$となり，本質的にバーム・クーヘン型では側面積の積分を求めています。
- 直線まわりの回転体
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関数$y{=}f(x)$が直線$l:y{=}mx$のよって切り取られる部分を直線$l$のまわりに$1$回転して得られる立体の体積は下記で求められる。
\begin{align}
V &= \pi\int_{a}^{b}\{h(x)\cos\theta\}^{2}\frac{dx}{\cos\theta}
\end{align}ただし，$f$と$l$の交点を$(a,b)$，$h(x){=}mx{-}f(x)$，$m{=}\tan\theta$とする。
図を書くと被積分関数が$h(x)\cos\theta$となることが分かりやすいです。また，$dx$ではなく$dx/\cos\theta$となっているのは，直線$l$の微小量を$x$軸方向に変換する必要があるからです。直線$l$上の$\cos\theta$という長さは$x$軸上における$x/\cos\theta$という長さに相当します。
具体例とその解答
断面積による求積
次の曲面が囲む体積を求めよ。
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} &= 1
\end{align}
$z=t$における断面は
\frac{x^{2}}{\left\{a\sqrt{1-t^{2}/c^{2}}\right\}^{2}}+\frac{y^{2}}{\left\{b\sqrt{1-t^{2}/c^{2}}\right\}^{2}} &= 1
\end{align}
となり，楕円$x^{2}/p+y^{2}/q=1$の面積は$\pi pq$となるため，断面積は
S(t) &= \pi ab\left(1-\frac{t^{2}}{c^{2}}\right)
\end{align}
となります。したがって，
V &=
\int_{-c}^{c}S(t)dt
=2\pi ab\int_{0}^{c}\left(1-\frac{t^{2}}{c^{2}}\right)dt\\[0.7em]
&= 2\pi ab\left[t-\frac{t^{3}}{3c^{2}}\right]_{0}^{c}
= \frac{4}{3}\pi abc
\end{align}
が得られます。
$a=b=c$のとき，半径$r$の球の体積$(4\pi/3)r^{3}$と一致します。
関数による求積
$y=\sin x~(0\leq x\leq \pi)$と$x$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ。
ウォリスの公式により，
V &= 2\pi\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}xdx = 2\pi\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi^{2}}{2}
\end{align}
と求められます。
ウォリスの公式では積分区間を$[0,\pi/2]$とすることに注意してください。
媒介変数による求積
$x=a\cos^{3}t,y=a\sin^{3}t~(a>0)$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。
与えられた図形は$x$軸対称かつ$y$軸対象であることから，$0\leq\theta\leq\pi/2$における回転体の体積を$2$倍すればよいです。$x$軸の正の方向は$t$において$\pi/2\rarr 0$の方向であることから，
V &=
2\pi\int_{\pi/2}^{0}y^{2}\frac{dx}{dt}dt\\[0.7em]
&= 2\pi\int_{\pi/2}^{0}\left(a\sin^{3}t\right)^{2}(-3a\sin t\cos^{2}t)dt
= 6\pi a^{3}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{7}t\cos^{2}t dt\\[0.7em]
&= 6\pi a^{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{7}t(1-\sin^{2}t) dt
= 6\pi a^{3}\left\{\int_{0}^{\pi/2}\sin^{7}tdt-\int_{0}^{\pi/2}\sin^{9}t\right\}
\end{align}
が得られます。したがって，ウォリスの公式より，求める体積は
V &=
6\pi a^{3}(I_{7}-I_{9})
= 6\pi a^{3}I_{7}\left(1-\frac{8}{9}\right)
= \frac{2\pi a^{3}}{3}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}
= \frac{32}{105}\pi a^{3}
\end{align}
となります。
$0\leq\theta\leq\pi/2$を考えたことでウォリスの公式に帰着させることができました。
バーム・クーヘン型による求積
$y=\sin x~(0\leq x\leq \pi)$と$x$軸で囲まれた部分を$y$軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ。
バーム・クーヘン型積分の公式より，
V
&= \int_{0}^{\pi}2\pi x\sin xdx
= 2\pi\left(\left[(-x\cos x)^{\prime}\right]_{0}^{\pi}+\int_{0}^{\pi}\cos xdx\right)\\[0.7em]
&= 2\pi\left(\pi+0\right) = 2\pi^{2}
\end{align}
と求められます。
直線まわりの回転体
$y=x^{2}$と$y=x$によって囲まれる部分を$y=x$のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。
交点は$x=0,1$であること，および$y=x$と$x$軸のなす孤度は$\pi/4$であることから，
V
&= \frac{\sqrt{2}}{2}\pi\int_{0}^{1}(x-x^{2})^{2}dx
= \frac{\sqrt{2}}{2}\pi\int_{0}^{1}(x^{4}-2x^{3}+x^{2})dx\\[0.7em]
&= \frac{\sqrt{2}}{2}\pi\left[\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}
= \frac{\sqrt{2}}{60}\pi
\end{align}
と求められます。
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