本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
二次形式の最大最小問題
- $\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=1$のとき，$\vx^{T}A\vx$の最大値・最小値は$A$の固有値の最大値・最小値とそれぞれ等しくなり，そのときの$\vx$は単位固有ベクトルと等しくなる。
- 実対称行列$A$について，$\vx^{T}A\vx/(\vx^{T}\vx)$の最大値・最小値は$A$の固有値の最大値・最小値とそれぞれ等しくなり，そのときの$\vx$は単位固有ベクトルと等しくなる。
証明は割愛します。特に2.は$\vx\vx^{T}$の取りうる値を調べる際に使うことができます。それぞれ前提条件があることを忘れないようにしてください。また，単位固有ベクトルは正の方向と負の方向の二つが含まれる点にも十分注意してください。
具体例
例1
実数$x,y,z$が$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$を満たすとき，次の二次形式の最大値・最小値およびそのときの$(x,y,z)$を求めよ。
f(x,y,z) &= 4x^{2}+5y^{2}+3z^{2}+4xy+4xz
\end{align}
例2
実数$x,y$が$3x^{2}+4xy+6y^{2}=8$を満たすとき，$f(x,y)=x^{2}+y^{2}$の最大値・最小値およびそのときの$(x,y)$を求めよ。
解答
例1について
実数$x,y,z$が$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$を満たすとき，次の二次形式の最大値・最小値およびそのときの$(x,y,z)$を求めよ。
f(x,y,z) &= 4x^{2}+5y^{2}+3z^{2}+4xy+4xz
\end{align}
実数$x,y,z$は$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$を満たすため，$\vx^{T}A\vx$の最大値・最小値は$A$の固有値の最大値・最小値とそれぞれ等しくなり，そのときの$\vx$は単位固有ベクトルと等しくなります。与えられた二次形式の係数行列$A$は
A &=
\begin{pmatrix}
4 & 2 & 2\\
2 & 5 & 0\\
2 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\end{align}
となり，固有方程式を計算すると
\begin{vmatrix}
4-\lambda & 2 & 2\\
2 & 5-\lambda & 0\\
2 & 0 & 3-\lambda
\end{vmatrix}
&= -(\lambda-1)(\lambda-4)(\lambda-7)
\end{align}
となるため，固有値は$1,4,7$となります。したがって，$f$の最大値は$7$，最小値は$1$となります。それぞれの単位固有ベクトルを求めると，$\pm 1/3(2,2,1)$および$\pm 1/3(2,-1,-2)$となるため，求める答えは
- $(x,y,z)=\pm 1/3(2,2,1)$のとき最大値$7$
- $(x,y,z)=\pm 1/3(2,-1,-2)$のとき最小値$1$
となります。
例2について
実数$x,y$が$3x^{2}+4xy+6y^{2}=8$を満たすとき，$f(x,y)=x^{2}+y^{2}$の最大値・最小値およびそのときの$(x,y)$を求めよ。
$3x^{2}+4xy+6y^{2}=8$の係数行列$A$は
A &=
\begin{pmatrix}
3 & 2\\
2 & 6
\end{pmatrix}
\end{align}
のように実対称行列であるため，$\vx^{T}A\vx/(\vx^{T}\vx)$の最大値・最小値は$A$の固有値の最大値・最小値とそれぞれ等しくなり，そのときの$\vx$は単位固有ベクトルと等しくなります。固有方程式を計算すると，
\begin{vmatrix}
3-\lambda & 2\\
2 & 6-\lambda
\end{vmatrix}
&= (\lambda-2)(\lambda-7)
\end{align}
となるため，固有値は$2,7$となります。したがって，
2 \leq \frac{\vx^{T}A\vx}{\vx^{T}\vx} = \frac{8}{\vx^{T}\vx} \leq 7
\end{align}
となりますが，これを変形すると
\frac{8}{7} \leq \vx^{T}\vx \leq 4
\end{align}
が得られます。したがって，$f$の最大値は$4$，最小値は$8/7$となります。それぞれの単位固有ベクトルを求めると，$\pm 2\sqrt{5}/5(2,-1)$および$\pm 2\sqrt{70}/35(1,2)$となるため，求める答えは
- $(x,y)=\pm 2\sqrt{5}/5(2,-1)$のとき最大値$4$
- $(x,y)=\pm 2\sqrt{70}/35(1,2)$のとき最小値$8/7$
となります。
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