本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
tan(x)のマクローリン展開
\tan x &= x+ \frac{1}{3}x^{3} + \frac{2}{15}x^{5} + \frac{7}{315}x^{7}+\cdots
\end{align}
少し工夫すると愚直に計算するよりも簡単に求められます。
証明
$f(x)=\tan x$とおくと
f^{(1)} &= \frac{1}{\cos^{2}x} = \tan^{2}x + 1 = f^{2}+1
\end{align}
が成り立ちます。同様に，
\begin{cases}
f^{(2)} = 2ff^{(1)}\\[0.7em]
f^{(3)} = 2(f^{(1)})^{2}+2ff^{(2)}\\[0.7em]
f^{(4)} = 4f^{(1)}f^{(2)}+2f^{(1)}f^{(2)}+2ff^{(3)}
= 6f^{(1)}f^{(2)}+2ff^{(3)}\\[0.7em]
f^{(5)} = 6(f^{(2)})^{2}+6f^{(1)}f^{(3)}+2f^{(1)}f^{(3)}+2ff^{(4)}
= 6(f^{(2)})^{2}+8f^{(1)}f^{(3)}+2ff^{(4)}
\end{cases}
となるため，$x=0$のときは
f(0) = 0,~
f^{(1)}(0) = 1,~
f^{(2)}(0) = 0,~
f^{(3)}(0) = 2,~
f^{(4)}(0) = 0,~
f^{(5)}(0) = 16
\end{align}
となります。したがって，$f(x)$のマクローリン展開は
f(x) &= f(0) + \frac{f^{(1)(0)}}{1!}x + \frac{f^{(2)(0)}}{2!}x^{2} + \frac{f^{(3)(0)}}{3!}x^{3} +\cdots\\[0.7em]
&= \frac{1}{1!}x + \frac{2}{3!}x^{3} + \frac{16}{5!}x^{5} + \cdots
= x+ \frac{1}{3}x^{3} + \frac{2}{15}x^{5} + \cdots
\end{align}
となります。
$x^{7}$の項以降も同様に導出できます。
別解1
$\cos x\tan x=\sin x$に対し，$\cos x$と$\sin x$のマクローリン展開を代入することにより，
\tan x(1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}+\cdots)
&= x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+\cdots\label{別解1_比較対象}
\end{align}
となります。$\tan x$は奇関数であることから
\tan x &= a_{1}x + a_{3}x^{3} + a_{5}x^{5} + \cdots
\end{align}
と表されるため，式($\ref{別解1_比較対象}$)で$x,x^{3},x^{5}$の係数を両辺で比較することにより，
\begin{cases}
a_{1}\cdot 1 = 1\\[0.7em]
\displaystyle
a_{1}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+a_{3}\cdot 1 = -\frac{1}{6}\\[0.7em]
\displaystyle
a_{1}\cdot\frac{1}{24}+a_{3}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+a_{5}\cdot 1 = \frac{1}{120}
\end{cases}
が得られるため，これを解くと
a_{1} = 1,\quad a_{3} = \frac{1}{3},\quad a_{5} = \frac{2}{15}
\end{align}
となります。したがって，
\tan x
&= x+ \frac{1}{3}x^{3} + \frac{2}{15}x^{5} + \cdots
\end{align}
が得られます。
別解2
$-\pi/2<x<\pi/2$とすると$0<1-\cos x<1$であることに注意すると，
\tan x
&{=} \frac{\sin x}{\cos x}
{=} \frac{\sin x}{1-(1-\cos x)}
{=} \sin x\left\{1+(1-\cos x)+(1-\cos x)^{2}+\cdots\right\}
\end{align}
となります。ここに$\sin x$と$\cos x$のマクローリン展開を代入することにより，
\tan x
&{=} \left(x{-}\frac{x^{3}}{6}{+}\frac{x^{5}}{120}\right)
\left\{1{+}\left(\frac{x^{2}}{2}{-}\frac{x^{4}}{24}{+}\cdots\right){+}\left(\frac{x^{2}}{2}{-}\frac{x^{4}}{24}{+}\cdots\right)^{2}{+}\cdots\right\}\\[0.7em]
&= \left(x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}\right)\left\{1+\frac{x^{2}}{2}+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{24}\right)x^{4}+\cdots\right\}\\[0.7em]
&= x + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)x^{3} + \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{24}+\frac{1}{120}\right)x^{5}+\cdots\\[0.7em]
&= x+ \frac{1}{3}x^{3} + \frac{2}{15}x^{5} + \cdots
\end{align}
が得られます。
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