本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
数列の極限とマクローリン展開による近似
$x$が$0$に十分近いとき，マクローリン展開による近似を利用することを考える。
これを使えば，はさみうちを使わずに一発で極限値を求められることがあります。
例題
$\displaystyle a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\log\left(1+\frac{k}{2n^{2}}\right)$のとき，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}$を求めなさい。
$\log(1+x)$のマクローリン展開は
\begin{align}
\log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{2}-\cdots
\end{align}
\log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{2}-\cdots
\end{align}
となるため，$x$が$0$に十分近いとき$\log(1+x)$は$x$に一次近似できます。したがって，
\begin{align}
\lim_{n\to\infty}a_{n}
&\sim \lim_{n\to\infty}\frac{k}{2n^{2}}
= \lim_{n\to\infty}\left\{\frac{1}{2n^{2}}\cdot\frac{1}{2}n(n+1)\right\}
= \frac{1}{4}
\end{align}
\lim_{n\to\infty}a_{n}
&\sim \lim_{n\to\infty}\frac{k}{2n^{2}}
= \lim_{n\to\infty}\left\{\frac{1}{2n^{2}}\cdot\frac{1}{2}n(n+1)\right\}
= \frac{1}{4}
\end{align}
が得られます。
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