【数検1級対策】図形に対する線形変換

本記事では,数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

図形に対する線形変換

線形変換$f$を定める行列$A$の像を求めることを考える。

  • 逆行列が存在する場合:そのまま逆行列を利用する
  • 逆行列が存在しない場合:媒介変数を経由する

逆行列が存在しない場合の像の求め方に注意です。

具体例

例1

\begin{align}
A &=
\begin{pmatrix}
4 & 1\\
2 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}

によって定められる線形変換$f$により,次の図形はどのような図形に移されるか。

  1. $3x+2y-4=0$
  2. $x^{2}+y^{2}=1$

例2

\begin{align}
A &=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
4 & 2
\end{pmatrix}
\end{align}

によって定められる線形変換$f$により,次の図形はどのような図形に移されるか。

  1. $xy$平面
  2. $2x+y-3=0$
  3. $y=x^{2}$
  4. $x^{2}+y^{2}=1$

解答

例1の逆行列は

\begin{align}
\begin{pmatrix}
4 & 1\\
2 & 1
\end{pmatrix}^{-1}
&= \frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
1 & -1\\
-2 & 4
\end{pmatrix}
\end{align}

となり,例2の逆行列は存在しないことに注意します。特に,例1では

\begin{align}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
&= A^{-1}
\begin{pmatrix}
x^{\prime}\\
y^{\prime}
\end{pmatrix}
= \frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
1 & -1\\
-2 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x^{\prime}\\
y^{\prime}
\end{pmatrix}
\end{align}

より,

\begin{cases}
\displaystyle
x = \frac{x^{\prime}-y^{\prime}}{2}\\[0.7em]
y = -x^{\prime}+2y^{\prime}\label{逆変換}
\end{cases}

が得られることを前提とします。

媒介変数を用いる方法では,取り得る値の範囲を必ず確認してください。

例1-1

\begin{align}
A &=
\begin{pmatrix}
4 & 1\\
2 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}

により,$3x+2y-4=0$はどのような図形に移されるか。

式($\ref{逆変換}$)を方程式に代入すると,

\begin{align}
3\cdot \frac{x^{\prime}-y^{\prime}}{2}
+ 2\cdot (-x^{\prime}+2y^{\prime}) - 4
&= 0
\end{align}

となるため,これを整理してダッシュ記号を外すと$x-5y+8$が得られます。

例1-2

\begin{align}
A &=
\begin{pmatrix}
4 & 1\\
2 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}

により,$x^{2}+y^{2}=1$はどのような図形に移されるか。

式($\ref{逆変換}$)を方程式に代入すると,

\begin{align}
\left(\frac{x^{\prime}-y^{\prime}}{2}\right)^{2}
+ \left(-x^{\prime}+2y^{\prime}\right)^{2}
&= 1
\end{align}

となるため,これを整理してダッシュ記号を外すと$5x^{2}-18xy+17y^{2}=4$が得られます。

例2-1

\begin{align}
A &=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
4 & 2
\end{pmatrix}
\end{align}

により,$xy$平面はどのような図形に移されるか。

$xy$平面上の任意の点は,$x,y$を任意の実数として

\begin{align}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
&= x
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}
+ y
\begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}
\end{align}

と表されるため,

\begin{align}
\begin{pmatrix}
x^{\prime}\\
y^{\prime}
\end{pmatrix}
&= xA
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}
+ yA
\begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}
= x
\begin{pmatrix}
2\\
4
\end{pmatrix}
+ y
\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}
=
(2x+y)
\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}
\end{align}

となります。$x$座標と$y$座標を比べると$y=2x$となりますが,係数の取り得る値の範囲を確認する必要があります。$x,y$は任意の実数であることから$2x+y$も任意の実数を動くため,求める答えは$y=2x$となります。

例2-2

\begin{align}
A &=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
4 & 2
\end{pmatrix}
\end{align}

により,$2x+y-3=0$はどのような図形に移されるか。

$2x+y-3=0$を直線$l$とおきます。$l$は$(1,1)$を通り方向ベクトルが$(1/2,-1)\propto (1,-2)$の直線であることから,$l$上の任意の点は$t$を任意の実数として

\begin{align}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}
+ t
\begin{pmatrix}
1\\
-2
\end{pmatrix}
\end{align}

と表されるため,

\begin{align}
\begin{pmatrix}
x^{\prime}\\
y^{\prime}
\end{pmatrix}
&= A
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}
+ tA
\begin{pmatrix}
1\\
-2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3\\
6
\end{pmatrix}
+ t
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3\\
6
\end{pmatrix}
\end{align}

となります。したがって,求める答えは点$(3,6)$となります。

別解

$l$上の任意の点は,$t$を任意の実数として$(t,-2t+3)^{T}$とおけるため,

\begin{align}
\begin{pmatrix}
x^{\prime}\\
y^{\prime}
\end{pmatrix}
&= A
\begin{pmatrix}
t\\
-2t+3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3\\
6
\end{pmatrix}
\end{align}

となります。したがって,求める答えは点$(3,6)$となります。

例2-3

\begin{align}
A &=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
4 & 2
\end{pmatrix}
\end{align}

により,$y=x^{2}$はどのような図形に移されるか。

$y=x^{2}$上の任意の点は,$t$を任意の実数として$(t,t^{2})^{T}$とおけるため,

\begin{align}
\begin{pmatrix}
x^{\prime}\\
y^{\prime}
\end{pmatrix}
&= A
\begin{pmatrix}
t\\
t^{2}
\end{pmatrix}
= (t^{2}+2t)
\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}
\end{align}

となります。ここで,$t^{2}+2t=(t+1)^{2}-1\geq -1$となることを利用すると,求める答えは半直線

\begin{align}
y &= 2x\quad(x\geq -1)
\end{align}

となります。

例2-4

\begin{align}
A &=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
4 & 2
\end{pmatrix}
\end{align}

により,$x^{2}+y^{2}=1$はどのような図形に移されるか。

$x^{2}+y^{2}=1$上の任意の点は,$0\leq\theta<2\pi$を用いて$(\cos\theta, \sin\theta)$とおけるため,

\begin{align}
\begin{pmatrix}
x^{\prime}\\
y^{\prime}
\end{pmatrix}
&= A
\begin{pmatrix}
\cos\theta\\
\sin\theta
\end{pmatrix}
= (\sin\theta+2\cos\theta)
\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}
\end{align}

となります。ここで,三角関数の合成より

\begin{align}
\sin\theta+2\cos\theta &= \sqrt{5}\sin(\theta+\alpha)
\end{align}

となることを利用すると,求める答えは線分

\begin{align}
y &= 2x\quad(|x|\leq \sqrt{5})
\end{align}

となります。ただし,$\alpha$は

\begin{align}
\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}},\quad
\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}
\end{align}

を満たします。

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