【数検1級対策】線形従属の条件と係数の求め方

本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。

初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

線形従属の条件と係数の求め方

行列形式の演算を覚えておくと楽です。

具体例

1. ${\mathbf{R}}^4$において$\mathbf{c}=(a,b,c,d)$が$\mathbf{a}=(1,2,-1,1),\mathbf{b}=(2,6,-1,4)$の張る空間に属するための必要十分条件を求めよ
2. ${\mathbf{R}}^3$において$\mathbf{a}=(a,b,c),\mathbf{b}=(c,a,b),\mathbf{c}=(b,c,a)$が線形従属となる必要十分条件を求めよ
3. ${\mathbf{R}}^3$の元${\mathbf{a}}_1=(1,2,3),{\mathbf{a}}_2=(2,5,8),{\mathbf{a}}_3=(1,3,6)$によって生成される部分空間$W$の次元とその$1$組の基底を求めよ
4. ${\mathbf{R}}^3$の元${\mathbf{a}}_1=(1,2,3),{\mathbf{a}}_2=(2,3,4),{\mathbf{a}}_3=(2,1,0)$によって生成される部分空間$W$の次元とその$1$組の基底を求めよ

解答

例1

線形従属の定義より，

を満たす実数$(x,y)$が存在するための必要十分条件を求めます。$A=(\mathbf{a}\mathbf{b})$とおくと，$(A\mathbf{c})$が解をもつための必要十分条件を考えればよく，$\mathbf{c}=(a,b,c,d)$とおくと，

が解をもつ必要十分条件は$-4a+b-2c=0$かつ$-3a-2c+d=0$となります。

例2

元の個数と元の次元数が等しいため，行列式による必要十分条件を利用できます。$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$が線形従属となる必要十分条件は$det|\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}|=0$であるため，

より，求める答えは$a+b+c=0$または$a=b=c$となります。

この因数分解は数検1級で頻出です。

例3

$({\mathbf{a}}_1{\mathbf{a}}_2{\mathbf{a}}_3)$を行基本変形したときの階数が求める次元となります。

$({\mathbf{a}}_1{\mathbf{a}}_2{\mathbf{a}}_3)$の階数は$3$となり，元の個数と次元が等しいため$3$つの元は線型独立となります。したがって，

が$1$組の基底となります。

例4

$({\mathbf{a}}_1{\mathbf{a}}_2{\mathbf{a}}_3)$を行基本変形したときの階数が求める次元となります。

$({\mathbf{a}}_1{\mathbf{a}}_2{\mathbf{a}}_3)$の階数は$2$となり，元の個数より次元の方が小さくなるため$3$つの元は線型従属となります。実際，上の手続きで明らかになっている通り，

のように表されます。したがって，

が$1$組の基底となります。

補足

式($\text{8}$)から式($\text{9}$)が導かれる理由を説明します。一般に，$x_1,\dots ,x_n$を変数とする$n$組の連立方程式$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$の解は

と行基本変形して得られる$\mathbf{d}$を用いて$\mathbf{x}=\mathbf{d}$となります。ただし，$A$は$n\times n$行列です。式($\text{8}$)は

という連立方程式を行列形式で解く表現そのものですので，$A$の右側に${\mathbf{a}}_3$をくっつけた$({\mathbf{a}}_1{\mathbf{a}}_2{\mathbf{a}}_3)$の行基本変形を考えればよいです。左二列で変数の数を次元数とする単位行列$E_2$を作り，そのときの一番右側の列ベクトルが求める係数となります。