本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
k乗の和の公式
$k$乗の和を
\begin{align}
S_{k} &= 1^{k}+2^{k}+\cdots+n^{k}
\end{align}
S_{k} &= 1^{k}+2^{k}+\cdots+n^{k}
\end{align}
とおくと，$S_{k}$は
\begin{align}
\sum_{t=1}^{n}\left\{(t+1)^{k+1}-t^{k+1}\right\}
\end{align}
\sum_{t=1}^{n}\left\{(t+1)^{k+1}-t^{k+1}\right\}
\end{align}
を展開して計算することにより再帰的に得られる。
$(t+1)^{k+1}$と$t^{k+1}$が打ち消しあって$(n+1)^{k+1}-1$しか残らない点がポイントです。
例題1
$S_{4}$を求めよ。
上の方針に従うと，
\begin{align}
(t+1)^{5}-t^{5}
&= 5t^{4}+10t^{3}+10t^{2}+5t+1
\end{align}
(t+1)^{5}-t^{5}
&= 5t^{4}+10t^{3}+10t^{2}+5t+1
\end{align}
となることから，両辺で$t=1$から$n$までの和を取れば，
\begin{align}
&(n+1)^{5} - 1\notag\\[0.7em]
&= 5S_{4}+10S_{3}+10S_{2}+5S_{1}+n\\[0.7em]
&= 5S_{4}+10\cdot\frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}+10\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+5\cdot\frac{1}{2}n(n+1)+n
\end{align}
&(n+1)^{5} - 1\notag\\[0.7em]
&= 5S_{4}+10S_{3}+10S_{2}+5S_{1}+n\\[0.7em]
&= 5S_{4}+10\cdot\frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}+10\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+5\cdot\frac{1}{2}n(n+1)+n
\end{align}
が得られます。これを整理すると
\begin{align}
S_{4}
&= \frac{1}{5}n^{5}+\frac{1}{2}n^{4}+\frac{1}{3}n^{3}-\frac{1}{30}n\\[0.7em]
&= \frac{1}{30}n(6n^{4}+15n^{3}+10n^{2}-1)\\[0.7em]
&= \frac{1}{30}n(n+1)(6n^{3}+9n^{2}+n-1)\\[0.7em]
&= \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)
\end{align}
S_{4}
&= \frac{1}{5}n^{5}+\frac{1}{2}n^{4}+\frac{1}{3}n^{3}-\frac{1}{30}n\\[0.7em]
&= \frac{1}{30}n(6n^{4}+15n^{3}+10n^{2}-1)\\[0.7em]
&= \frac{1}{30}n(n+1)(6n^{3}+9n^{2}+n-1)\\[0.7em]
&= \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)
\end{align}
となります。
例題2
$\displaystyle\frac{S_{4}}{S_{2}}$を$S_{1}$で表しなさい。
例題1の結果より，
\begin{align}
\frac{S_{4}}{S_{2}}
&= \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)/30}{n(n+1)(2n+1)/6}\\[0.7em]
&= \frac{1}{5}(3n^{2}+3n-1)
= \frac{1}{5}\left\{6\cdot\frac{1}{2}n(n+1)-1\right\}
= \frac{1}{5}(6S_{1}-1)
\end{align}
\frac{S_{4}}{S_{2}}
&= \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)/30}{n(n+1)(2n+1)/6}\\[0.7em]
&= \frac{1}{5}(3n^{2}+3n-1)
= \frac{1}{5}\left\{6\cdot\frac{1}{2}n(n+1)-1\right\}
= \frac{1}{5}(6S_{1}-1)
\end{align}
が得られます。
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