本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
結果が逆三角関数となる積分
分数関数の不定積分で部分分数分解により$\log x$の積分に帰着させられなかった場合は，逆三角関数の微分が分数関数となることを思い出して利用できることがある。
\begin{align}
&\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \sin^{-1} \frac{x}{a} + C \\[0.7em]
&\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a}\tan^{-1} \frac{x}{a} + C
\end{align}
&\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \sin^{-1} \frac{x}{a} + C \\[0.7em]
&\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a}\tan^{-1} \frac{x}{a} + C
\end{align}
証明自体はシンプルなのですが，問題として出された際に思いつくには慣れが必要です。
具体例とその解答
例1
\begin{align}
\int\frac{1}{\sqrt{2+4x-4x^{2}}}dx
\end{align}
\int\frac{1}{\sqrt{2+4x-4x^{2}}}dx
\end{align}
結果が$\sin^{-1}$となる不定積分の公式を利用すると，
\begin{align}
\int\frac{1}{\sqrt{2+4x-4x^{2}}}dx
&= \int\frac{1}{\sqrt{3-(2x-1)^{2}}}dx
= \int\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}-(2x-1)^{2}}}dx\\[0.7em]
&= \frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}-y^{2}}}dy
= \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{2x-1}{\sqrt{3}} + C
\end{align}
\int\frac{1}{\sqrt{2+4x-4x^{2}}}dx
&= \int\frac{1}{\sqrt{3-(2x-1)^{2}}}dx
= \int\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}-(2x-1)^{2}}}dx\\[0.7em]
&= \frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}-y^{2}}}dy
= \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{2x-1}{\sqrt{3}} + C
\end{align}
が得られます。
例2
\begin{align}
\int\frac{1}{x^{2}+x+1}dx
\end{align}
\int\frac{1}{x^{2}+x+1}dx
\end{align}
結果が$\tan^{-1}$となる不定積分の公式を利用すると，
\begin{align}
\int\frac{1}{x^{2}+x+1}dx
&= \int\frac{1}{(x+1/2)^{2}+(\sqrt{3}/2)^{2}}dx
= \frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\frac{2(x+1/2)}{\sqrt{3}} + C
\end{align}
\int\frac{1}{x^{2}+x+1}dx
&= \int\frac{1}{(x+1/2)^{2}+(\sqrt{3}/2)^{2}}dx
= \frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\frac{2(x+1/2)}{\sqrt{3}} + C
\end{align}
が得られます。
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