本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
単射・全射・全単射と行列の階数
$V,W$を線型空間，$f:~V\rarr W$を線形写像とするとき，次が成り立つ。
- $\mathrm{rank}\;A \neq \mathrm{rank}\;V$かつ$\mathrm{rank}\;A = \mathrm{rank}\;W$のとき全射
- $\mathrm{rank}\;A = \mathrm{rank}\;V$かつ$\mathrm{rank}\;A \neq \mathrm{rank}\;W$のとき単射
- $\mathrm{rank}\;A = \mathrm{rank}\;V$かつ$\mathrm{rank}\;A = \mathrm{rank}\;W$のとき全単射
数検1級のスコープでは，いずれも成り立たない場合は一旦考えなくてもよいでしょう。
具体例
次の行列により定まる線型変換が単射・全射・全単射のいずれであるかを述べよ。
\begin{align}
A=
\begin{pmatrix}
1 & -2\\
3 & 4\\
1 & -5
\end{pmatrix},\quad
B=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2\\
2 & 1 & -4 & 1\\
3 & 0 & -3 & 3
\end{pmatrix},\quad
C=
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1\\
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\end{align}
A=
\begin{pmatrix}
1 & -2\\
3 & 4\\
1 & -5
\end{pmatrix},\quad
B=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2\\
2 & 1 & -4 & 1\\
3 & 0 & -3 & 3
\end{pmatrix},\quad
C=
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1\\
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\end{align}
解答
$A$の定める線形写像について
$\dim(V)=2,\dim(W)=3$であり，
\begin{align}
\begin{pmatrix}
1 & -2\\
3 & 4\\
1 & -5
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & -2\\
0 & 10\\
0 & 7
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & -2\\
0 & 1\\
0 & 7
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & -2\\
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}
\begin{pmatrix}
1 & -2\\
3 & 4\\
1 & -5
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & -2\\
0 & 10\\
0 & 7
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & -2\\
0 & 1\\
0 & 7
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & -2\\
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}
より，$\mathrm{rank}\;A=2$が分かります。これより$\mathrm{rank}\;A = \mathrm{rank}\;V$かつ$\mathrm{rank}\;A \neq \mathrm{rank}\;W$となるため，$A$が定める線形写像は単射です。
$B$の定める線形写像について
$\dim(V)=4,\dim(W)=3$であり，
\begin{align}
&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2\\
2 & 1 & -4 & 1\\
3 & 0 & -3 & 3
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2\\
0 & -3 & -6 & -3\\
0 & -6 & -6 & -3
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2\\
0 & 1 & 2 & 1\\
0 & 2 & 2 & 1
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2\\
0 & 1 & 2 & 1\\
0 & 0 & -2 & -1
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2\\
0 & 1 & 2 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1/2
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 3/2\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1/2
\end{pmatrix}
\end{align}
&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2\\
2 & 1 & -4 & 1\\
3 & 0 & -3 & 3
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2\\
0 & -3 & -6 & -3\\
0 & -6 & -6 & -3
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2\\
0 & 1 & 2 & 1\\
0 & 2 & 2 & 1
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2\\
0 & 1 & 2 & 1\\
0 & 0 & -2 & -1
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2\\
0 & 1 & 2 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1/2
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 3/2\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1/2
\end{pmatrix}
\end{align}
より，$\mathrm{rank}\;B=3$が分かります。これより$\mathrm{rank}\;B \neq \mathrm{rank}\;V$かつ$\mathrm{rank}\;B = \mathrm{rank}\;W$となるため，$B$が定める線形写像は全射です。
$C$の定める線形写像について
$\dim(V)=3,\dim(W)=3$であり，
\begin{align}
&
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1\\
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
3 & 4 & 1\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 4 & -2\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 4 & -2
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & -6
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
&
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1\\
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
3 & 4 & 1\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 4 & -2\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 4 & -2
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & -6
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\rarr
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
より，$\mathrm{rank}\;C=3$が分かります。これより$\mathrm{rank}\;C = \mathrm{rank}\;V$かつ$\mathrm{rank}\;C = \mathrm{rank}\;W$となるため，$C$が定める線形写像は全単射です。
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