本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
ガンマ関数に帰着する級数
次の積分を求めよ。
\begin{align}
\int_{0}^{1}x^{-x}dx
\end{align}
\int_{0}^{1}x^{-x}dx
\end{align}
解答
$e^{-x}$のマクローリン展開より，
\begin{align}
x^{-x} &= e^{-x\log x} = e^{x\log (1/x)} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\{x\log (1/x)\}^{n}}{n!}
\end{align}
x^{-x} &= e^{-x\log x} = e^{x\log (1/x)} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\{x\log (1/x)\}^{n}}{n!}
\end{align}
が得られます。項別積分を認めると，
\begin{align}
\int_{0}^{1}\left(x\log\frac{1}{x}\right)^{n}
&= \int_{\infty}^{0}t^{n}e^{-nt}\cdot (-e^{-t})dt
= \int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-(n+1)t}dt\\[0.7em]
&= \frac{1}{(n+1)^{n+1}}\int_{0}^{\infty}u^{n}e^{-u}du\\[0.7em]
&= \frac{1}{(n+1)^{n+1}}\Gamma(n) = \frac{n!}{(n+1)^{n+1}}
\end{align}
\int_{0}^{1}\left(x\log\frac{1}{x}\right)^{n}
&= \int_{\infty}^{0}t^{n}e^{-nt}\cdot (-e^{-t})dt
= \int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-(n+1)t}dt\\[0.7em]
&= \frac{1}{(n+1)^{n+1}}\int_{0}^{\infty}u^{n}e^{-u}du\\[0.7em]
&= \frac{1}{(n+1)^{n+1}}\Gamma(n) = \frac{n!}{(n+1)^{n+1}}
\end{align}
となるため，
\begin{align}
\int_{0}^{1}x^{-x}\,dx
&= \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n!}\cdot\frac{n!}{(n+1)^{n+1}}\right)
= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{n}}
\end{align}
\int_{0}^{1}x^{-x}\,dx
&= \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n!}\cdot\frac{n!}{(n+1)^{n+1}}\right)
= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{n}}
\end{align}
が得られます。
本稿では，項別積分可能であることの証明は割愛します。
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