【数検1級対策】陰関数の極値

2024年7月6日

本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。

初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

陰関数の極値
覚え方
具体例
解答

陰関数の極値

陰関数の極値は $y$ を $x$ の関数とみて考える。 $f (x, y) = 0$ の両辺を $x$ で偏微分すると，合成関数の偏微分で $t = x$ を代入することにより，

\begin{array}{r} (1) & \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d x} = f_{x} + f_{y} \frac{d y}{d x} = 0 \end{array}

となるため，

\begin{aligned} (2) & \frac{d y}{d x} & = - \frac{f_{x}}{f_{y}} \end{aligned}

が得られる。さらに $f_{x y}$ と $f_{y x}$ はともに存在して連続であるため $f_{x y} = f_{y x}$ となることに注意して両辺を $x$ で微分すると，

\begin{aligned} (3) & \frac{d^{2} y}{d y^{2}} & = - \frac{(\partial f_{x} / \partial x + \partial f_{x} / \partial y \cdot d y / d x) f_{y} - f_{x} (\partial f_{y} / \partial x + \partial f_{y} / \partial y \cdot d y / d x)}{f_{y}^{2}} \\ (4) & = - \frac{(f_{x x} + f_{x y} (- f_{x} / f_{y})) f_{y} - f_{x} (f_{y x} + f_{y y} (- f_{x} / f_{y}))}{f_{y}^{2}} \\ (5) & = - \frac{f_{x x} f_{y}^{2} - f_{x y} f_{x} f_{y} - f_{y x} f_{y} f_{x} + f_{y y} f_{x}^{2}}{f_{y}^{3}} \\ (6) & = - \frac{f_{x x} f_{y}^{2} - 2 f_{x y} f_{x} f_{y} + f_{y y} f_{x}^{2}}{f_{y}^{3}} \end{aligned}

が得られる。陰関数は $y$ を $x$ の関数とみると $d y / d x = 0$ を満たす $(x, y)$ が極値を取る候補となるが，このとき $f_{x} = 0$ となるため，

\begin{aligned} (7) & \frac{d^{2} y}{d y^{2}} & = - \frac{f_{x x}}{f_{y}} \end{aligned}

となる。つまり， $f_{x} = 0$ および $f (x, y) = 0$ を満たす $(x, y) = (x_{0}, y_{0})$ について

$f_{x x} / f_{y} > 0$ ならば $y = y_{0}$ は極大値
$f_{x x} / f_{y} < 0$ ならば $y = y_{0}$ は極小値

が分かる。

二階微分が正の場合は極小値，負の場合は極大値となることを用いています。 $d^{2} y / d y^{2}$ にマイナスが付いていることに十分注意してください。

覚え方

一階微分が $- f_{x} / f_{y}$ は計算で容易に求められる。二階微分は分子に $f_{x x} f_{y}$ が残り，

\begin{aligned} (8) & \frac{d^{2} y}{d y^{2}} & = - \frac{f_{x x} f_{y}}{f_{y}^{2}} = - \frac{f_{x x}}{f_{y}} \end{aligned}

と理解する。

具体例

次の陰関数の極値を， $y$ を $x$ の関数とみて求めよ。

\begin{aligned} (9) & f (x, y) & = x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 x + 2 y - 6 = 0 \end{aligned}

解答

$x$ の偏導関数は $f_{x} = 2 x - 2 y - 4$ となるため， $f (x, y) = 0$ かつ $f_{x} = 0$ を満たす $(x, y)$ を $(x_{0}, y_{0})$ とおくと， $(x_{0}, y_{0}) = (- 3, - 5)$ となります。このとき， $f_{x x} = 2$ および $f_{y} = - 2 x + 2 y + 2$ に注意すると，

\begin{aligned} (10) & \frac{f_{x x}}{f_{y}} & = \frac{2}{- 2} = - 1 < 0 \end{aligned}

となるため， $f (x, y)$ は $x = - 3$ で極小値 $- 5$ を取ります。

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