本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
クラメルの公式
連立方程式$A\vx=\vb$の解は，$\det(A)\neq 0$のもとで
\begin{align}
x_{i} &= \frac{\det(A_{i})}{\det(A)}
\end{align}
x_{i} &= \frac{\det(A_{i})}{\det(A)}
\end{align}
と表される。ただし，$x_{i}$は$\vx$の第$i$成分，$A_{i}$は$A$の第$i$列を$\vb$に置き換えた行列とする。
逆行列の余因子展開による表現から得られる公式です。証明は割愛します。
具体例
$a\neq\pm\sqrt{7}$のとき，次の連立方程式の解を求めよ。
\begin{cases}
2x + y + az = 2a\\[0.7em]
x + ay - 2z = 2\\[0.7em]
x + 2y - z = 1
\end{cases}
解答
連立方程式が解をもつための条件のうち，行列の階数に基づく判定法を用いれば，
\begin{align}
|A| &=
\begin{vmatrix}
2 & 1 & a\\
1 & a & -2\\
1 & 2 & -1
\end{vmatrix}
= -a^{2} + 7 \neq 0
\end{align}
|A| &=
\begin{vmatrix}
2 & 1 & a\\
1 & a & -2\\
1 & 2 & -1
\end{vmatrix}
= -a^{2} + 7 \neq 0
\end{align}
および
\begin{align}
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 2a\\
1 & a & 2\\
1 & 2 & 1
\end{vmatrix}
= -2\left(a-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{5}{2} \neq 0
\end{align}
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 2a\\
1 & a & 2\\
1 & 2 & 1
\end{vmatrix}
= -2\left(a-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{5}{2} \neq 0
\end{align}
より，係数行列と拡大係数行列で小行列式の最大次数が$3$となるため，これらの行列の階数は$3$となります。これより，与えられた連立方程式は自明でない解をもつことが分かります。いま，
\begin{align}
A_{1} &=
\begin{vmatrix}
2a & 1 & a\\
2 & a & -2\\
1 & 2 & -1
\end{vmatrix}
= -3a^{2}+12a\\[0.7em]
A_{2} &=
\begin{vmatrix}
2 & 2a & a\\
1 & 2 & -2\\
1 & 1 & -1
\end{vmatrix}
= -3a\\[0.7em]
A_{3} &=
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 2a\\
1 & a & 2\\
1 & 2 & 1
\end{vmatrix}
= -2a^{2}+6a-7
\end{align}
A_{1} &=
\begin{vmatrix}
2a & 1 & a\\
2 & a & -2\\
1 & 2 & -1
\end{vmatrix}
= -3a^{2}+12a\\[0.7em]
A_{2} &=
\begin{vmatrix}
2 & 2a & a\\
1 & 2 & -2\\
1 & 1 & -1
\end{vmatrix}
= -3a\\[0.7em]
A_{3} &=
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 2a\\
1 & a & 2\\
1 & 2 & 1
\end{vmatrix}
= -2a^{2}+6a-7
\end{align}
となるため，クラメルの公式より
\begin{align}
x = \frac{-3a^{2}+12a}{7-a^{2}},\quad
y = \frac{-3a}{7-a^{2}},\quad
z = \frac{-2a^{2}+6a-7}{7-a^{2}}
\end{align}
x = \frac{-3a^{2}+12a}{7-a^{2}},\quad
y = \frac{-3a}{7-a^{2}},\quad
z = \frac{-2a^{2}+6a-7}{7-a^{2}}
\end{align}
となります。
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