本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
$\sin z = 2$の解き方
$\sin z = 2$を満たす$z$は実数領域においては存在しないが，複数領域に拡張すると存在する。
$-1\leq\sin \theta\leq 1$となるのは$\theta$が実数の場合のみです。
証明
オイラーの定理より次が成り立ちます。
\begin{align}
\sin z &= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
\end{align}
\sin z &= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
\end{align}
$w=e^{iz}$とおくと，一般の複素数$z$は実部と虚部から構成されるため，$z=x+yi$を用いて
\begin{align}
e^{iz} &= e^{-y+ix} = e^{-y}\cdot e^{ix}
\end{align}
e^{iz} &= e^{-y+ix} = e^{-y}\cdot e^{ix}
\end{align}
と表されます。すなわち，$e^{iz}$の絶対値が$e^{-y}$となり偏角が$x$となるため，これらを用いて$z$が求められることになります。早速，$w=e^{iz}$を$\sin z = 2$に代入すると
\begin{align}
\frac{w-w^{-1}}{2i} &= 2
\end{align}
\frac{w-w^{-1}}{2i} &= 2
\end{align}
が得られるため，これを整理して
\begin{align}
w^{2}-4iw-1 &= 0
\end{align}
w^{2}-4iw-1 &= 0
\end{align}
を得ます。解の公式より
\begin{align}
w &= 2i\pm\sqrt{3}i = (2\pm\sqrt{3})i
\end{align}
w &= 2i\pm\sqrt{3}i = (2\pm\sqrt{3})i
\end{align}
となるため，整数$n$を用いて
\begin{align}
\begin{cases}
|z| = e^{-y} = 2\pm\sqrt{3}\\[0.7em]
\displaystyle
\arg z = x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi
\end{cases}
\end{align}
\begin{cases}
|z| = e^{-y} = 2\pm\sqrt{3}\\[0.7em]
\displaystyle
\arg z = x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi
\end{cases}
\end{align}
となります。これより，
\begin{align}
z &= x + yi = \left(\frac{1}{2} + 2n\right)\pi - i\log(2\pm\sqrt{3})
\end{align}
z &= x + yi = \left(\frac{1}{2} + 2n\right)\pi - i\log(2\pm\sqrt{3})
\end{align}
が得られます。
補足
$2+\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^{-1}$より$\log(2-\sqrt{3})=-\log(2+\sqrt{3})$であることを用いると，$z$の解として
\begin{align}
z &= \left(\frac{1}{2} + 2n\right)\pi - i\log(2\pm\sqrt{3})
= \left(\frac{1}{2} + 2n\right)\pi \mp i\log(2+\sqrt{3})
\end{align}
z &= \left(\frac{1}{2} + 2n\right)\pi - i\log(2\pm\sqrt{3})
= \left(\frac{1}{2} + 2n\right)\pi \mp i\log(2+\sqrt{3})
\end{align}
を採用しているものもあります。
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