本記事では，数学検定1級で頻出の二次元行列と可換の条件についてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
二次正方行列と可換の条件
任意の二次正方行列$X$と行列
\begin{align}
A &=
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}
\end{align}
A &=
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}
\end{align}
が可換となる必要十分条件は，$a=d$かつ$b=c=0$で与えられる。
一般に行列は可換ではありません。
証明
任意の$X$に対し$AX=XA$を満たす$A$の条件を求めればよく，都合のよい$X$を選びます。例えば
\begin{align}
X &=
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}
X &=
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}
とおくと，$AX=XA$より$c=0$かつ$a=d$が得られます。同様に，
\begin{align}
X &=
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
X &=
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
とおくと，$AX=XA$より$b=0$かつ$c=0$が得られます。これらより，$AX=XA$となる必要条件は$a=d$かつ$b=c=0$となります。逆に，$a=d$かつ$b=c=0$のとき，$A=aE$となるため
\begin{align}
AX &= (aE)X = aX = X(aE) = XA
\end{align}
AX &= (aE)X = aX = X(aE) = XA
\end{align}
となるため$AX=XA$が成り立ちます。したがって，求める条件は$a=d$かつ$b=c=0$です。
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