本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
基底と表現行列
基底$[{\bf v}_1, \ldots, {\bf v}_n]$，$[{\bf w}_1\ldots {\bf w}_n]$と線形写像$f$に関して，表現行列$P$は
\begin{align}
A[{\bf v}_1, \ldots, {\bf v}_n] &= [{\bf w}_1\ldots {\bf w}_n]P
\end{align}
A[{\bf v}_1, \ldots, {\bf v}_n] &= [{\bf w}_1\ldots {\bf w}_n]P
\end{align}
のように定義される。上式を
\begin{align}
AV &= WP
\end{align}
AV &= WP
\end{align}
と表すと，$W$は基底を集めた行列であり正則であることから以下のように$P$を求められる。
\begin{align}
P &= W^{-1} AV
\end{align}
P &= W^{-1} AV
\end{align}
変換前後の基底が指定されないと表現行列は定められません。
具体例
\begin{align}
f:~\mR^{2}\longrarr\mR^{3},\quad
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}
\longmapsto
\begin{pmatrix}
2x_{1}+x_{2}\\
3x_{1}-2x_{2}\\
4x_{1}-3x_{2}
\end{pmatrix}
\end{align}
f:~\mR^{2}\longrarr\mR^{3},\quad
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}
\longmapsto
\begin{pmatrix}
2x_{1}+x_{2}\\
3x_{1}-2x_{2}\\
4x_{1}-3x_{2}
\end{pmatrix}
\end{align}
で与えられる$f$に対し，次の基底に関する表現行列を求めよ。
- $\left<(1,0)^{T},(0,1)^{T}\right>,\left<(1,0,0)^{T},(0,1,0)^{T},(0,0,1)^{T}\right>$
- $\left<(1,4)^{T},(2,1)^{T}\right>,\left<(1,2,0)^{T},(1,3,2)^{T},(1,2,1)^{T}\right>$
解答
与えられた変換を変形すると
\begin{align}
\begin{pmatrix}
2x_{1}+x_{2}\\
3x_{1}-2x_{2}\\
4x_{1}-3x_{2}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & -2\\
4 & -3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}
\end{align}
\begin{pmatrix}
2x_{1}+x_{2}\\
3x_{1}-2x_{2}\\
4x_{1}-3x_{2}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & -2\\
4 & -3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}
\end{align}
となるため，$f$を定める行列は
\begin{align}
A &=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & -2\\
4 & -3
\end{pmatrix}
\end{align}
A &=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & -2\\
4 & -3
\end{pmatrix}
\end{align}
となることを利用します。基底1.について，表現行列の定義に代入すると
\begin{align}
P &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & -2\\
4 & -3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & -2\\
4 & -3
\end{pmatrix}
\end{align}
P &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & -2\\
4 & -3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & -2\\
4 & -3
\end{pmatrix}
\end{align}
となります。同様に基底2.について，表現行列の定義に代入すると
\begin{align}
P &=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
2 & 3 & 2\\
0 & 2 & 1
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & -2\\
4 & -3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2\\
4 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & -2\\
4 & -3
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & -1\\
-2 & 1 & 0\\
4 & -2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
6 & 5\\
-5 & 4\\
-8 & 5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-3 & -6\\
-17 & -6\\
26 & 17
\end{pmatrix}
\end{align}
P &=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
2 & 3 & 2\\
0 & 2 & 1
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & -2\\
4 & -3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2\\
4 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & -2\\
4 & -3
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & -1\\
-2 & 1 & 0\\
4 & -2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
6 & 5\\
-5 & 4\\
-8 & 5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-3 & -6\\
-17 & -6\\
26 & 17
\end{pmatrix}
\end{align}
となります。
基底1.の結果は「標準基底に関する表現行列は変換を定める行列と等しくなる」ことを意味しています。
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