本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
積分区間が$[0,\pi/2]$でないウォリスの公式
ウォリスの公式では積分区間は$[0,\pi/2]$であるが，問題によってはこれ以外の積分区間で$\sin^{n}$や$\cos^{n}$の定積分が問われることがある。この場合は，$\sin^{n}$と$\cos^{n}$の対称性を利用して積分区間を$[0,\pi/2]$に直せばよい。
$\sin^{n}$と$\cos^{n}$の符号は$\sin$と$\cos$の符号と一致します。$0$になる地点は一緒でグラフの尖り方が変わるだけです。
例題
次の積分を求めよ
\begin{align}
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta~d\theta,\quad
\int_{0}^{2\pi}\cos^{4}\theta~d\theta
\end{align}
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta~d\theta,\quad
\int_{0}^{2\pi}\cos^{4}\theta~d\theta
\end{align}
$\sin^{n}$の符号は$\sin$の符号と一致することに注意すると，
\begin{align}
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta~d\theta
&= 2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta~d\theta
= 2\cdot\frac{2}{3} = \frac{4}{3}
\end{align}
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta~d\theta
&= 2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta~d\theta
= 2\cdot\frac{2}{3} = \frac{4}{3}
\end{align}
が得られます。同様に，
\begin{align}
\int_{0}^{2\pi}\cos^{4}\theta~d\theta
&= 4\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta~d\theta
= 4\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}
= \frac{3}{4}\pi
\end{align}
\int_{0}^{2\pi}\cos^{4}\theta~d\theta
&= 4\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta~d\theta
= 4\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}
= \frac{3}{4}\pi
\end{align}
が得られます。
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